Tekst źródłowy strony Wytrzymałość materiałów/Zadania

==Wiadomości wstępne==
Brak zadań

==Ściskanie i rozciąganie pręta prostego==
===Statycznie wyznaczalne=== 
===='''Zadanie 2.1'''====
:Wyznaczyć minimalną średnicę pręta rozciąganego siłą osiową <math>P=3000N</math>, wiedząc że naprężenia dopuszczalne materiału z którego jest wykonany pręt wynoszą <math>k_{r}=240MPa</math>.
Rozwiązanie
:Przekrojem pręta kołowego jest koło, więc pole powierzchni przekroju wyraża się wzorem:
:<math>A=\pi r^{2}=\pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\pi \frac{d^{2}}{4}</math>
:zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|2.1|Ściskanie i rozciąganie pręta prostego}} otrzymujemy:
:<math>k_{r}\geq\frac{P}{A}</math>

:<math>k_{r}\geq\frac{P}{\pi \frac{d^{2}}{4}}</math>

:<math>k_{r}\geq\frac{4P}{\pi d^{2}}</math>
:z ostatniego wzoru wyznaczamy średnicę:
:<math>d\geq\sqrt{\frac{4P}{\pi k_{r}}}=\sqrt{\frac{4\cdot3000N}{\pi\cdot240MPa}}=\sqrt{\frac{4\cdot3000N}{\pi 240\frac{N}{mm^{2}}}}</math>
:<math>d\geq3,99mm</math>
::Odp: Pręt powinien mieć co najmniej <math>4 mm</math> średnicy.

===='''Zadanie 2.2'''====
:Oblicz naprężenia i wydłużenie jakie wystąpi w pręcie stalowym o przekroju kołowym rozciągany siłą osiową. 
:Średnica <math>d=4mm</math>; długość <math>l=2m</math>; siła <math>P=2000N</math>; moduł Younga <math>E=2,1\cdot 10^{5}MPa</math>
Rozwiązanie
:<math>\sigma=\frac{P}{A}=\frac{4P}{\pi d^{2}}=\frac{4\cdot 2000}{\pi\cdot 4^{2}}=159,15\frac{N}{mm^{2}}=159,15MPa</math>

:<math>\Delta l=\frac{Pl}{EA}=\frac{4Pl}{E\pi d^{2}}=\frac{4\cdot 2000\cdot 2000}{2,1\cdot 10^{5}\cdot \pi\cdot 4^{2}}=1,5mm</math>
::Odp: Naprężenia wynoszą <math>159,15 MPa</math> a pręt wydłuży się o <math>1,5mm</math>.

===='''Zadanie 2.3'''====
[[Plik:Zadanie 2.3.svg|400px|mały|prawo|Zadanie 2.3.]]
:Oblicz składowe przemieszczeń punktu <math>C</math> dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą <math>P</math>. Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty: <math>A;B</math>), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt: <math>C</math>). Mamy daną długość pręta drugiego oraz kąt między prętem pierwszym a drugim. 
:Sztywność prętów wynosi <math>EA</math>.
Rozwiązanie
:Z równań równowagi wyznaczyć należy składowe siły <math>P</math> działające na pręt ① i ②.
:<math>S_{1}=\frac{P}{sin\alpha}</math>

:<math>S_{2}=-\frac{P}{sin\alpha}cos\alpha=-Pctg\alpha</math>
:Znak minus w pręcie drugim oznacza że siła składowa <math>S_{2}</math> ściska pręt co prowadzi do skrócenia jego długości
:Długości prętów są następujące:
:① <math>=\frac{l}{cos\alpha}</math>

:② <math>=l</math>
:Wydłużenie pręta pierwszego zaznaczono na rysunku jako odcinek <math>\overline{CC_{1}}</math> wynosi:
:<math>\Delta l_{1}=\frac{Pl}{EAsin\alpha cos\alpha}=\frac{2Pl}{EAsin2\alpha}</math>
:Wydłużenie (skrócenie) pręta drugiego zaznaczono na rysunku jako odcinek <math>\overline{CC_{2}}</math> wynosi:
:<math>\Delta l_{2}=\frac{-Pctg\alpha l}{EA}</math>
:Pręt drugi skróci się oraz obróci się wokół punktu <math>B</math>. Gdy mamy do czynienia ze nieznacznymi zmianami wymiarów długości luk obrotu można zastąpić styczną <math>\overline{C_{2}C_{3}}</math>. Podobnie pręt pierwszy wydłuży się i obróci wokół punktu <math>A</math>, koniec pręta przesunie się wzdłuż prostej <math>\overline{DC_{3}}</math>. Punkt <math>C</math> przemieści się do punktu <math>C_{3}</math> czyli do przecięcia wyżej omawianych prostych. Składowa pozioma i pionowa przemieszczenia wynoszą:
:<math>f_{x}=\Delta l_{2}</math> 

:<math>f_{y}=\overline{C_{2}D}ctg\alpha</math> 

:<math>\overline{C_{2}D}=\overline{C_{2}C}+\overline{CD}=\Delta l_{2}+\frac{\Delta l_{1}}{cos\alpha}</math> 

:<math>f_{y}=\Delta l_{2}ctg\alpha+\frac{\Delta l_{1}}{sin\alpha}</math>

===='''Zadanie 2.4'''====
[[Plik:Zadanie 2.4.svg|400px|mały|prawo|Zadanie 2.4.]]
:Oblicz o jaki kąt obróci się pręt drugi wokół punktu <math>C</math> dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą <math>P</math>. W tym przypadku należy przyjąć że jedynie pręt pierwszy jest rozciągany, natomiast pręt drugi jest nieważki i niepodatny na działanie siły <math>P</math>. Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty: <math>B;C</math>), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt: <math>D</math>).
:Długość pręta pierwszego wynosi <math>l</math>, a jego sztywność <math>EA</math>
Rozwiązanie
:Siła rozciągająca pręt zależy od kąta między prętem pierwszym a drugim oraz od usytuowania połączenia przegubowego między prętami (punkt: <math>D</math>) czyli jakie są długości ramion dźwigni jednostronnej.
:<math>S=P\frac{\overline{AC}}{\overline{DC}}sin\alpha</math>
:Dla uproszczenia przyjmujemy że odcinek <math>\overline{AD}=a</math> natomiast odcinek <math>\overline{DC}=2a</math>, wtedy wydłużenie pręta wynosi:
:<math>\Delta l=\overline{DD_{1}}=\frac{3}{2}\frac{Pl}{EAsin\alpha}</math>
:Aby wyznaczyć kąt obrotu należy ustalić najpierw długość odcinka <math>\overline{DD_{2}}</math>
:<math>\overline{DD_{2}}=\frac{\Delta l}{sin\alpha}</math>

:<math>tg\varphi=\frac{\overline{DD_{2}}}{\overline{CD}}=\frac{\Delta l}{2asin\alpha}=\frac{3Pl}{4aEAsin^{2}\alpha}</math>

===Statycznie niewyznaczalne===
===='''Zadanie 2.5'''====
:Obliczyć siły jakie występują w betonowej kolumnie ściskanej siłą osiową <math>P</math> rozłożoną równomiernie na całą powierzchnie. Słup jest o stałym polu przekroju <math>A</math> oraz posiada zbrojenie stalowymi prętami o stałym polu przekroju <math>A_{S}</math>.
:Długość pręta wynosi <math>l</math>, natomiast moduł Younga dla betonu wynosi <math>E_{B}</math> a dla stali <math>E_{S}</math>.
Rozwiązanie
:Dla przejrzystości wyznaczymy pole powierzchni betonu w przekroju kolumny 
:<math>A_{B}=A-A_{S}</math>
:Siła ściskająca <math>P</math> filar rozkłada się na siłę ściskającą pręty stalowe <math>P_{S}</math> oraz na siłę ściskającą beton <math>P_{B}</math> 
:<math>P=P_{S}+P_{B}</math> (warunek równowagi)
:Ponieważ pręty są zamurowane w betonie więc odkształcenie wzdłużne betonu i stali są jednakowe
:<math>\Delta l_{S}=\Delta l_{B}</math> (warunek nierozdzielności przemieszczeń -> warunek geometryczny)

:<math>\Delta l_{S}=\frac{P_{S}l}{E_{S}A_{S}}\qquad\qquad\Delta l_{B}=\frac{P_{B}l}{E_{B}A_{B}}</math> (warunki fizyczne)

:<math>\frac{P_{S}l}{E_{S}A_{S}}=\frac{P_{B}l}{E_{B}A_{B}}</math>

:Gdy mamy dwa równania i dwie niewiadome wyznaczamy siły działające na pręty stalowe i beton. Najpierw wyznaczymy siłę działającą na stal
:<math>P_{S}=P_{B}\frac{E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}\;=>\;P_{S}=(P-P_{S})\frac{E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}\;=>\;P_{S}+P_{S}\frac{E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}=P\frac{E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}\;=>\;P_{S}(1+\frac{E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}})=P\frac{E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}</math>

:<math>P_{S}=P\frac{\frac{E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}}{1+\frac{E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}}</math>
:Przy wyznaczaniu siły działającej na beton postępujemy analogicznie jak wyżej
:<math>P_{B}=P_{S}\frac{E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}\;=>\;P_{B}=(P-P_{B})\frac{E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}\;=>\;P_{B}+P_{B}\frac{E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}=P\frac{E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}\;=>\;P_{B}(1+\frac{E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}})=P\frac{E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}</math>

:<math>P_{B}=P\frac{\frac{E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}}{1+\frac{E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}}</math>
:Przy założeniu że  moduł Younga dla stali wynosi <math>2,1\cdot10^{5}MPa</math> a betonu <math>0,3\cdot10^{5}MPa</math> oraz że betonu jest <math>10</math> razy więcej niż prętów stalowych otrzymujemy:
:<math>P_{S}=P\frac{7}{17}</math> oraz <math>P_{B}=P\frac{10}{17}</math> z tego wynika że siła ściskająca beton jest większa niż siła ściskająca pręty stalowe

===='''Zadanie 2.6'''====
[[Plik:Axiale last uitwendig hyperstatisch syteem.svg|400px|mały|prawo|Zadanie 2.6.]]
:Wyznaczyć reakcje ścian <math>R_{A}</math> i <math>R_{B}</math> w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu <math>C</math>, między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi <math>a+b=L</math> natomiast sztywność równa się <math>EA</math>. Na pręt działa siła <math>P</math> przyłożona w punkcie <math>C</math>.
Rozwiązanie
:To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów:
'''Metoda przecięć'''
:Pierwsze przecięcie dokonujemy między punktami <math>A</math> i <math>C</math> natomiast drugie między punktami <math>C</math> oraz <math>B</math>. Ponieważ pręt znajduje się między dwiema nieprzesuwnymi ścianami to zauważamy że całkowite odkształcenie pręta równa się sumie poszczególnych odkształceń tego pręta oraz równa się zeru.
:<math>\Delta l=\frac{R_{A}a}{EA}+\frac{(R_{A}-P)b}{EA}=0</math>
:Obie strony mnożymy przez sztywność <math>EA</math> oraz porządkujemy równanie
:<math>R_{A}a+R_{A}b=Pb\qquad=>\qquad R_{A}=P\frac{b}{a+b}</math>
:Natomiast reakcje <math>R_{B}</math> wyznaczamy z równania równowagi: <math>P=R_{A}+R_{B}</math>
:<math>R_{B}=P\frac{a}{a+b}</math>
:Przemieszczenie punktu <math>C</math> jest równe:
:<math>\delta=\frac{R_{A}a}{EA}=\frac{R_{B}b}{EA}=P\frac{ab}{EA(a+b)}</math>
'''Metoda superpozycji'''
:Gdyby nie było by ściany prawej czyli <math>R_{B}=0</math> to pręt pod działaniem sił zewnętrznych wydłużył by się o:
:<math>\Delta l_{1}=\frac{Pa}{EA}</math>
:Gdyby <math>P=0</math> to odkształcenie (skrócenie) wywołane reakcją <math>R_{B}</math> wynosiłoby:
:<math>\Delta l_{2}=-\frac{R_{B}(a+b)}{EA}</math>
:Ponieważ wydłużenie całkowite jest równe zeru, to z warunku: <math>\Delta l_{1}+\Delta l_{2}=0</math> wyznaczamy szukane reakcje:
:<math>\frac{Pa}{EA}-\frac{R_{B}(a+b)}{EA}=0\quad=>\quad\frac{Pa}{EA}=\frac{R_{B}(a+b)}{EA}\quad=>\quad R_{B}=P\frac{a}{a+b}</math>
===='''Zadanie 2.7'''====
[[Plik:Axiale last uitwendig hyperstatisch syteem sectieverschil.svg|400px|mały|prawo|Zadanie 2.7.]]
:Wyznaczyć reakcje ścian <math>R_{A}</math> i <math>R_{B}</math> w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu <math>C</math>, między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi <math>a+b=L</math>. Pręt składa się z dwóch części o różnej sztywności. Na pręt działa siła <math>P</math> przyłożona w punkcie <math>C</math>.
Rozwiązanie
:To zadanie jest rozwinięciem poprzedniego przypadku gdy mieliśmy do czynienia z jednorodnym prętem o stałym przekroju w tym przypadku mamy dwa materiały i dwa różne pola powierzchni przekroju pręta. To zadanie rozwiążemy metodą przecięć, jak w poprzednim układzie dokonujemy dwóch przecięć:
:<math>\Delta l=\frac{R_{A}a}{E_{A}A_{A}}+\frac{(R_{A}-P)b}{E_{B}A_{B}}=0</math>

:<math>\Delta l=\frac{R_{A}a}{E_{A}A_{A}}+\frac{R_{A}b}{E_{B}A_{B}}-\frac{Pb}{E_{B}A_{B}}=0\quad=>\quad\frac{R_{A}a}{E_{A}A_{A}}+\frac{R_{A}b}{E_{B}A_{B}}=\frac{Pb}{E_{B}A_{B}}</math> oraz korzystamy z równania równowagi <math>P=R_{A}+R_{B}</math> aby wyznaczyć <math>R_{B}</math>

:<math>R_{A}a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+R_{A}b=Pb</math>

:<math>R_{A}(a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+b)=Pb</math>

:<math>R_{A}=P\frac{b}{a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+b}</math>

:<math>R_{B}=P-R_{A}=P\frac{a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+b}{a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+b}-P\frac{b}{a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+b}=P\frac{a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+b-b}{a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+b}=P\frac{a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}{a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+b}</math>

:Powyższe równania można wyznaczyć także w następujący sposób 

:<math>R_{A}(\frac{a}{E_{A}A_{A}}+\frac{b}{E_{B}A_{B}})=\frac{Pb}{E_{B}A_{B}}</math>

:<math>R_{A}=\frac{Pb}{(\frac{a}{E_{A}A_{A}}+\frac{b}{E_{B}A_{B}})E_{B}A_{B}}=P\frac{b}{a\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}+b}</math>

:Przemieszczenie punktu <math>C</math> wynosi:

:<math>\delta=\frac{R_{A}a}{E_{A}A_{A}}=\frac{R_{B}b}{E_{B}A_{B}}</math> 

:Z tej zależności wyznaczamy następujący stosunek:

:<math>\frac{R_{B}}{R_{A}}=\frac{a}{b}\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}\quad=>\quad R_{B}={R_{A}}\frac{a}{b}\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}=P\frac{b}{(\frac{a}{E_{A}A_{A}}+\frac{b}{E_{B}A_{B}})E_{B}A_{B}}\frac{a}{b}\frac{E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}=P\frac{a}{(\frac{a}{E_{A}A_{A}}+\frac{b}{E_{B}A_{B}})E_{A}A_{A}}</math>

:Oba równania są sobie równe które jest bardziej przejrzyste dla czytelnika pozostawiam do wyboru.

:Ostatecznie przemieszczenie punktu <math>C</math> wynosi:

:<math>\delta=P\frac{ab}{(\frac{a}{E_{A}A_{A}}+\frac{b}{E_{B}A_{B}})E_{A}A_{A}E_{B}A_{B}}</math>
==Geometryczne charakterystyki przekrojów==