Tekst źródłowy strony Wytrzymałość materiałów/Ściskanie i rozciąganie pręta prostego

<noinclude>{{Nawigacja|Wytrzymałość materiałów|[[../Wiadomości wstępne|Wiadomości wstępne]]|[[../Charakterystyki geometryczne przekroju|Charakterystyki geometryczne przekroju]]}}</noinclude>
-----
==Naprężenia dopuszczalne==
Przy budowaniu konstrukcji podstawowym zadaniem jest określenie obciążeń jakie będą działać na konstrukcją oraz jakie zmiany one spowodują. Każdy obiekt konstrukcyjny jest zbudowany z konkretnego materiału, który wcześniej został przebadany w "Statycznej próbie rozciągania". Na jej podstawie określa się zakresy wartości sił dla jakich obiekt może zostać obciążony. Wzrost naprężeń i odkształceń powodują zmiany w materiale które prowadzą do odkształceń trwałych lub nawet do zniszczenia obiektu.

Przy statycznej próbie rozciągania wyznaczyliśmy charakterystyczne punkty wykresu których przekroczenie oznaczało zmianę pewnych parametrów rozciąganego ciała:
# Granica proporcjonalności <math>R_{H}</math>
# Granica plastyczności <math>R_{e}</math>
# Granica wytrzymałości na rozciąganie <math>R_{m}</math>

Aby nie dopuścić do przekroczenia poszczególnych granic a co za tym idzie niedopuszczenie do zmian w materiale, obciążenia konstrukcji wywołujące maksymalne naprężenia nie powinny przekraczać naprężeń dopuszczalnych.

{{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{max}=\frac{N_{max}}{A}\leq k</MATH>|2.1|Obramuj}}
:gdzie:
::<math>N_{max}</math> - maksymalna siła osiowa
::<math>A</math> - pole przekroju poprzecznego pręta
::<math>k=\sigma_{dop}</math> - naprężenia dopuszczalne

Naprężenia dopuszczalne oznacza się literą <math>k</math> z odpowiednim indeksem charakteryzującym rodzaj obciążenia:
#Naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu - <math>k_{r}</math>
#Naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu - <math>k_{c}</math>
#Naprężenie dopuszczalne przy zginaniu - <math>k_{g}</math>
#Naprężenie dopuszczalne przy ścinaniu - <math>k_{t}</math>
#Naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu - <math>k_{s}</math>

Określenie wartości <math>k_{r}</math> dokonuje się na podstawie wartości <math>R_{H}</math>, <math>R_{e}</math> lub <math>R_{m}</math>. Owe granice znacznie między sobą się różnią w zależności od materiału oraz jego przeznaczenia wybiera się jedną z tych granic.

{{CentrujWzór|<MATH>k_{r}=\frac{R_{H}}{n_{H}}</MATH> - materiały liniowo-sprężyste}}


{{CentrujWzór|<MATH>k_{r}=\frac{R_{e}}{n_{e}}</MATH> - materiały sprężysto-plastyczne}}


{{CentrujWzór|<MATH>k_{r}=\frac{R_{m}}{n_{m}}</MATH> - materiały sprężysto-kruche}}
:gdzie:
::<math>n_{H}>1;\quad n_{e}>1;\quad n_{m}>1</math> - współczynniki bezpieczeństwa

'''Zadanie 2.1'''
:Wyznaczyć minimalną średnicę pręta rozciąganego siłą osiową <math>P=3000N</math>, wiedząc że naprężenia dopuszczalne materiału z którego jest wykonany pręt wynoszą <math>k_{r}=240MPa</math>
[[ Wytrzymałość materiałów/Zadania#Zadanie_2.1|'''Rozwiązanie''']]
:Odp: '''4 mm'''

==Wpływ ciężaru własnego na naprężenia i odkształcenia==
{{Rysunek|Axial rod.PNG|2.1|Pionowo usytuowany pręt rozciągany siłą P oraz siłą ciężkości|pozycja=right|rozmiar=400px}}

Do tej pory {{LinkRysunek|1.8|Wiadomości wstępne}} przy rozciąganiu uwzględnialiśmy jedynie siły zewnętrzne natomiast siły ciężkości w konstrukcjach odgrywają bardzo ważną rolę i należy je zawsze uwzględniać przy projektowaniu.

Rozważmy rozciąganie pręta kołowego o długości <math>l</math>, siłą osiową <math>P</math> o ciężarze własnym <math>Q</math> i stałym przekroju <math>A=const</math>. Siła ciężkości pręta spowodowana jest jego masą <math>m</math> mianowicie:

{{CentrujWzór|<MATH>Q=mg</MATH>}}

Wprowadzimy jeszcze pojęcie ciężaru właściwego <math>\gamma</math>:

{{CentrujWzór|<MATH>\gamma=\frac{Q}{V}=\frac{mg}{A l}</MATH>}}
:gdzie:
::<math>g</math> - przyspieszenie ziemskie
::<math>V</math> - objętość pręta
::<math>A</math> - pole przekroju preta

Z pręta myślowo wytnijmy walec {{LinkRysunek|2.1}} o wysokości <math>dx</math> oddalony o wartość <math>x</math> od górnego krańca pręta. Wycinek ten rozciągany jest siłą <math>P</math> oraz siłą ciężkości pręta o długości <math>l-x</math> a więc <math>Q=A(l-x)\gamma</math>. 

Naprężenia wywołane siłą <math>P</math> oraz siłą ciężkości <math>Q</math> wyraża się wzorem:

{{CentrujWzór|<MATH>\sigma=\frac{P}{A}+\frac{A(l-x)\gamma}{A}=\frac{P}{A}+\gamma(l-x)</MATH>|2.2|Obramuj}}

Zgodnie z prawem Hooke'a {{LinkWzór|1.7|Wiadomości wstępne}} odkształcenia <math>\varepsilon</math> są równe:

{{CentrujWzór|<MATH>\varepsilon=\sigma\frac{1}{E}=\frac{1}{E}\left[\frac{P}{A}+\gamma(l-x)\right]</MATH>|2.3|Obramuj}}

Wydłużenie wycinka <math>dx</math> zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|1.3|Wiadomości wstępne}} wynosi <math>du=\varepsilon dx</math> więc wydłużenie całkowite pręta <math>\Delta l</math> obliczamy ze wzoru:

{{CentrujWzór|<MATH>\Delta l=u_{x=l}=\int\limits_0^l \varepsilon dx=\varepsilon x\bigg|^{l}_{0}=\varepsilon l</MATH>|2.4|Obramuj}}

Po podstawieniu do wzoru {{LinkWzór|2.4}} zależności na odkształcenia {{LinkWzór|2.3}} otrzymujemy:

{{CentrujWzór|<MATH>\Delta l=\frac{1}{E}\int\limits_0^l\left[\frac{P}{A}+\gamma(l-x)\right]dx=\frac{Pl}{AE}+\frac{\gamma l^{2}}{2E}</MATH>|2.5|Obramuj}}

Ponieważ <math>Q=\gamma Al</math> to ostatecznie otrzymuje się:

{{CentrujWzór|<MATH>\Delta l=\frac{Pl}{AE}+\frac{1}{2}\frac{Q l}{AE}</MATH>|2.6|Obramuj}}

Zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|2.2}} wynika że naprężenia w pręcie liniowo wzrastają od wartości <math>\sigma_{min}=P/A</math> do wartości maksymalnej <math>\sigma_{max}=(P/A)+(Q/A)</math>. Zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|2.1}} naprężenia maksymalne nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych dlatego oblicza się średnicę minimalną w miejscu największych naprężeń aby spełnić ten warunek. Natomiast naprężenia w dalszej części pręta są mniejsze więc ten warunek będzie spełniony z niepotrzebnym i kosztownym nadmiarem. Dlatego aby zaoszczędzić materiał i zniwelować koszty dobiera się taki kształt pręta aby naprężenia na całej długości pręta były stałe i nie przekraczały naprężeń dopuszczalnych <math>\sigma_{dop}</math>. Taki pręt w którym każdy przekrój ma takie same naprężenia nazywa się prętem o równomiernej wytrzymałości.

{{Rysunek|Pręt o równomiernej wytrzymałości.PNG|2.2|Pręt o równomiernej wytrzymałości|pozycja=right|rozmiar=200px}}

Aby wyznaczyć funkcje kształtu pręta o równomiernej wytrzymałości {{LinkRysunek|2.2}} z uwzględnieniem ciężaru własnego i obciążonego siłą <math>P</math> należy najpierw wyznaczyć naprężenia. Ponieważ naprężenia mają być stałe i równe sobie w każdym przekroju, więc wiedząc że naprężenia są najmniejsze w punkcie przyłożenia siły <math>P</math> do pręta możemy obliczyć naprężenia:

{{CentrujWzór|<MATH>\sigma=\frac{P}{A_{0}}</MATH>}}

Myślowo wycinamy element <math>dx</math> w odległości <math>x</math> i potraktować go jako stożek ścięty o wysokości <math>dx</math> (poprawnie powinno się ten wycinek traktować jako walec lecz dla odróżnienia podstaw przyjmiemy że to jest stożek). Przy przejściu z podstawy o większej powierzchni do podstawy o mniejszej powierzchni siła osiowa (normalna) zmniejsza swą wartość o ciężar wycinka <math>dx</math> mianowicie: <math>dN=dQ=\gamma A_{x}dx</math>, natomiast przekrój zmniejszy się o <math>dA_{x}</math>.

Wypiszmy równanie równowagi dla wycinka <math>dx</math> pręta gdzie <math>\sigma=const</math>

{{CentrujWzór|<MATH>\sigma(A_{x}+dA_{x})+\gamma A_{x}dx-\sigma A_{x}=0</MATH>|2.7|Obramuj}}

Stosunek przyrostu siły osiowej do przyrostu pola przekroju prostopadłego do osi pręta musi być równy naprężeniom.

{{CentrujWzór|<MATH>\frac{\gamma A_{x}dx}{-dA_{x}}=\sigma</MATH>|2.8|Obramuj}}

Po rozdzieleniu zmiennych.

{{CentrujWzór|<MATH>\frac{dA_{x}}{A_{x}}=-\frac{\gamma}{\sigma}</MATH>|2.9|Obramuj}}

Po scałkowaniu.

{{CentrujWzór|<MATH>lnA_{x}+C=-\frac{\gamma}{\sigma}x</MATH>|2.10|Obramuj}}

Stałą całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych, mianowicie dla <math>x=l</math> <math>A_{x}=A_{0}</math>

{{CentrujWzór|<MATH>lnA_{0}+C=-\frac{\gamma}{\sigma}l</MATH>}}

{{CentrujWzór|<MATH>C=-\frac{\gamma}{\sigma}l-lnA_{0}</MATH>}}

Wstawiając stałą całkowania do wzoru {{LinkWzór|2.10}} otrzymujemy:

{{CentrujWzór|<MATH>ln\frac{A_{x}}{A_{0}}=\frac{\gamma}{\sigma}(l-x)</MATH>|2.11|Obramuj}}

{{CentrujWzór|<MATH>A_{x}=A_{0}e^{\frac{\gamma}{\sigma}(l-x)}</MATH>|2.12|Obramuj}}

Wzór {{LinkWzór|2.12}} określa pole powierzchni przekroju poprzecznego w zależności od odległości od końca pręta. Przy założeniu że przekrojem jest koło można wyznaczyć średnicę (promień) pręta w danym przekroju. Wykonanie takiego pręta na pewno było by kłopotliwe i kosztowne dlatego stosuje się pręty o przekrojach stopniowych (połączenie kilku prętów o stałej powierzchni przekroju, która co pewną odległość zmienia swą powierzchnię w sposób skokowy).

{{Chem:ciek
|Tytuł=Kolumna
|Treść ciekawostki=Wyżej rozpatrzyliśmy przykład pręta podwieszonego i rozciąganego, natomiast gdybyśmy rozpatrywali kolumnę utwierdzoną na podłożu i ściskaną od góry siłą <math>P</math> to otrzymamy ten sam wzór kształtu kolumny {{LinkWzór|2.12}}}}

==Układy statycznie wyznaczalne==
{{Rysunek|Gradosdelibertad.png|2.3|Układ dwóch punktów materialnych|pozycja=right|rozmiar=200px}}
Układ jest statycznie wyznaczalny gdy liczba niewiadomych (sił) jest równa liczbie równań równowagi. Swobodne ciało czyli na które nie nałożono żadnych więzów w przestrzeni trójwymiarowej (3D), posiada sześć stopni swobody: trzy translacyjne wzdłuż każdej z osi układu współrzędnych <math>x;y;z</math> oraz trzy obrotowe wokół każdej z osi układu współrzędnych <math>\varphi_{x};\varphi_{y};\varphi_{z}</math>. Ciało swobodne na płaszczyźnie (2D) posiada trzy stopnie swobody: dwa translacyjne wzdłuż osi układu współrzędnych <math>x;y</math> oraz jeden obrotowy <math>\varphi_{z}</math> wokół osi <math>z</math> prostopadłej do osi <math>x;y</math>. Swobodny punkt materialny w przestrzeni trójwymiarowej posiada trzy stopnie swobody mianowicie tylko trzy translacyjne wzdłuż każdej z osi układu współrzędnych a nie posiada możliwości obrotu. Swobodny punkt materialny na płaszczyźnie posiada dwa stopnie swobody, translacyjne wzdłuż osi <math>x;y</math>. Swobodny układ dwóch punktów materialnych w przestrzeni trójwymiarowej posiada pięć stopni swobody: trzy translacyjne wzdłuż każdej z osi układu współrzędnych, oraz dwa obrotowe wokół osi prostopadłych do prostej poprowadzonej przez te dwa punkty. Swobodny układ dwóch punktów materialnych na płaszczyźnie posiada trzy stopnie swobody: dwa translacyjne wzdłuż osi układu współrzędnych <math>x;y</math> oraz jeden obrotowy <math>\varphi_{z}</math> wokół osi <math>z</math>.

Z powyższego nasuwa się pytanie dlaczego swobodny punkt materialny w przestrzeni trójwymiarowej posiada tylko trzy stopnie swobody translacyjne natomiast nie posiada możliwości obrotu jak ciało sztywne (co najmniej trzy punkty nie leżące na jednej prostej)? Otóż punkt materialny może się obracać lecz nie jesteśmy stanie określić o ile się obrócił, powodem tego są jego rozmiary oraz brak dodatkowego punktu odniesienia. Przy układzie dwóch punktów mamy możliwość określenia o ile obróciło się dane ciało gdy obrót następuje wokół osi prostopadłych do linii łączącej te punkty, natomiast nie możemy określić o ile obróci się układ jeśli obrót nastąpi wzdłuż osi łączącej dane dwa punkty.

Pewną liczbę stopni swobody możemy odebrać (zmniejszyć) po przez nałożenie na ciało więzów. Co spowoduje że układ materialny będzie mógł poruszać się ze zmniejszoną liczbą ruchów a w granicznym przypadku gdy odbierzemy wszystkie stopnie swobody ciało stanie się nieruchome. Do najważniejszych więzów na płaszczyźnie w statyce oraz wytrzymałości materiałów zaliczamy:

{|border=1|
|-
!colspan=3 align=center|Więzy
|-
!Rysunek
!Nazwa
!Opis
|-
|[[Plik:Walled.PNG|100px]]
|Zamurowanie
|Odbiera wszystkie stopnie swobody, ciało pozostaje w spoczynku.
|-
|[[Plik:Support articulated has.PNG|100px]]
|Podpora przegubowa stała
|Odbiera wszystkie możliwości ruchu translacyjnego a pozostawia 
możliwość obrotu.
|-
|[[Plik:Support articulated sliding.PNG |100px]]
|Podpora przegubowa przesuwna
|Odbiera możliwość ruchu translacyjnego tylko wzdłuż jednej osi, natomiast 
pozostawia możliwość ruchu wzdłuż osi prostopadłej oraz możliwość obrotu.
|-
|[[Plik:Joint (przegub - pl).PNG|100px]]
|Przegub
|Łączy dwa układy materialne po przez odebranie możliwości ruchu 
translacyjnego względem siebie natomiast pozostawia możliwość obrotu.
|-
|colspan=3 align=center|Na <span style="color:red">'''czerwono'''</span> zaznaczono reakcje więzów natomiast na <span style="color:green">'''zielono'''</span> możliwe ruchy (stopnie swobody)
jakie może otrzymać układ z danym ograniczeniem.
|}

Tok postępowania przy rozwiązywaniu układów statycznie wyznaczalnych najlepiej omówić na [[Wytrzymałość materiałów/Zadania#Statycznie wyznaczalne|'''przykładowych zadaniach''']], natomiast teraz zostanie omówiony jeden przykład pręta prostego do którego zostały przyłożone siły osiowe:
:Sporządzić wykres naprężeń normalnych oraz obliczyć całkowite wydłużenie pręta zamurowanego {{LinkRysunek|2.4}} na którego działają siły.
{{Rysunek|Tensile and compressive axial rod.PNG|2.4|Przykładowe zadanie|pozycja=right|rozmiar=400px}}
:Na pierwszym rysunku widzimy pręt osiowy stopniowany (jeden stopień) którego z jednej strony zamurowano oraz przyłożono trzy siły.
:Najpierw musimy wyznaczyć reakcję więzów (w tym przypadku zamurowania) posłużymy się równaniem równowagi, ponieważ ciało jest zamurowane to nie może się przemieszczać więc suma rzutów sił na oś <math>x</math> musi być równa zero <math>\sum P_{x}=0</math>
:<math>R-8P+3P+2P=0</math> 
:<math>R=3P</math>
::Na rysunku wstępnie zaznaczono reakcję <math>R</math> zgodnie z osią <math>x</math> lecz jest to obojętne ponieważ gdybyśmy zaznaczyli tą siłę w przeciwnym kierunku to równanie równowagi by było by następujące :
::<math>-R-8P+3P+2P=0</math> 
::<math>R=-3P</math> Minus oznacza że siła ma przeciwny zwrot niż zaznaczyliśmy, więc wstępne wybranie kierunku reakcji jest dowolne.
:Następnym krokiem po wyznaczeniu reakcji więzów jest myślowe przecięcie pręta. Minimalna ilość przecięć jakich musimy dokonać jest uzależniona od liczby sił zewnętrznych oraz od reakcji więzów lecz nie ma ograniczenia ze względu na maksymalną liczbę, możemy zrobić dowolnie dużo przecięć lecz będą one zbędne.
:Pierwsze myślowe przecięcie {{LinkRysunek|2.4}} dokonujemy na drugim rysunku między reakcją zamurowania <math>R=3P</math> a siłą <math>8P</math>. Po myślowym przecięciu musimy wyznaczyć siły wewnętrzne które zostały uwidocznione po owym przecięciu. Ponieważ pręt się nie przemieszcza to i po myślowym przecięciu nie może więc suma rzutów sił na oś <math>x</math> musi być równa zero
:<math>3P-N=0</math>
:<math>N=3P</math>
:W ten sposób wyznaczyliśmy wartość siły wewnętrznej w przedziale <math>AB</math>. W analogiczny sposób postępujemy z następnymi przecięciami. Dla przejrzystości obliczenia i wyniki można zamieszczać w tabeli:
:{|border=1|
|-
!Przedział
!AB
!BC
!CD
!DE
|-
|Obliczenia
|<math>3P-N=0</math>
|<math>3P-8P+N=0</math>
|<math>3P-8P+3P+N=0</math>
|<math>3P-8P+3P+</math>
<math>+2P+N=0</math>
|-
|Wartość siły
Wewnętrznej <math>N</math>
|<math>N=3P</math>
|<math>N=5P</math>
|<math>N=2P</math>
|<math>N=0</math>
|}

:Otrzymane wyniki prezentujemy w formie wykresu {{LinkRysunek|2.4}} ostatni rysunek. Ponieważ część pręta <math>AB</math> jest ściskana, a część <math>BD</math> rozciągana to na wykresie musimy zaznaczyć po przez <math>(+)</math> część rozciąganą a <math>(-)</math> część ściskaną. Ze względów historycznych wartość ściskaną <math>(-)</math> odkłada się powyżej osi, natomiast wartość rozciąganą <math>(+)</math> odkłada się poniżej osi.
:Po wyznaczeniu siły wewnętrznej normalnej <math>N</math> możemy wyznaczyć naprężenia normalne <math>\sigma</math> ze wzoru {{LinkWzór|1.6|Wiadomości wstępne}} a następnie odkształcenie <math>\varepsilon</math> ze wzoru {{LinkWzór|1.7|Wiadomości wstępne}}. Gdy znamy odkształcenia poszczególnych części pręta możemy obliczyć ich wydłużenia <math>u</math> ze wzoru {{LinkWzór|2.4}}. Dla obliczeń przyjmiemy że prektój pręta jest kwadratem oraz:
:<math>E=2,1\cdot10^{5}</math> - stal
:<math>P=960N</math>
:<math>A_{1}=64mm^{2}</math> - pole przekroju przedziału <math>AB</math>
:<math>A_{2}=16mm^{2}</math> - pole przekroju przedziału <math>BE</math>
:<math>AB=120mm</math>
:<math>BC=40mm</math>
:<math>CD=80mm</math>
:<math>DE=20mm</math>
:Obliczenia dla przejrzystości możemy zamieścić w tabeli:
:{|border=1|
|-
!
!<math>\sigma</math> - naprężenia
!<math>\varepsilon</math> - odkształcenia
!<math>u</math> - wydłużenie
|-
|Wzór
!<math>\sigma=\frac{N}{A}</math>
!<math>\varepsilon=\frac{\sigma}{E}</math>
|<math>u=\int\limits_0^l \varepsilon dx=\varepsilon x\bigg|^{l}_{0}=\varepsilon\cdot l</math>
|-
|<math>AB</math>
|<math>\sigma_{AB}=\frac{-3\cdot960N}{64mm^{2}}=</math>
<math>=-45MPa</math>
|<math>\varepsilon_{AB}=\frac{-45MPa}{2,1\cdot10^{5}}=</math>
<math>=-0,21\cdot10^{-3}</math>
|<math>u_{AB}=-0,21\cdot10^{-3}\cdot120mm=</math>
<math>=-0,03mm</math>
|-
|<math>BC</math>
|<math>\sigma_{BC}=\frac{5\cdot960N}{16mm^{2}}=</math>
<math>=300MPa</math>
|<math>\varepsilon_{BC}=\frac{300MPa}{2,1\cdot10^{5}}=</math>
<math>=1,43\cdot10^{-3}</math>
|<math>u_{BC}=1,43\cdot10^{-3}\cdot40mm=</math>
<math>=0,06mm</math>
|-
|<math>CD</math>
|<math>\sigma_{CD}=\frac{2\cdot960N}{16mm^{2}}=</math>
<math>=120MPa</math>
|<math>\varepsilon_{CD}=\frac{120MPa}{2,1\cdot10^{5}}=</math>
<math>=0,57\cdot10^{-3}</math>
|<math>u_{CD}=0,57\cdot10^{-3}\cdot80mm=</math>
<math>=0,05mm</math>
|-
|<math>DE</math>
|<math>\sigma_{DE}=\frac{0}{4mm^{2}}=0MPa</math>
|<math>\varepsilon_{DE}=\frac{0}{2,1\cdot10^{5}}=0</math>
|<math>u_{DE}=0\cdot20mm=0</math>
|}
:aby wyznaczyć całkowite przemieszczenie końca pręta <math>E</math> należy dodać poszczególne przemieszczenia:
:<math>u_{AB}+u_{BC}+u_{CD}+u_{DE}=-0,03mm+0,06mm+0,05mm+0=0,08mm</math>
::Odp. Pręt zostanie rozciągnięty o <math>0,08mm</math> 
:Należy jednak zaznaczyć że część <math>AB</math> zostanie ściśnięta dlatego w obliczeniach pojawia się znak minus.

==Układy statycznie niewyznaczalne==
Układ jest statycznie niewyznaczalny gdy liczba niewiadomych (sił) jest większa od liczby równań równowagi. Do rozwiązania takich przypadków musimy wykorzystać dodatkowe równania pochodzące od wywołanych odkształceń układu. Gdy dla układu jesteśmy wstanie napisać trzy równania równowagi a niewiadomych sił i reakcji są cztery niewiadome to taki układ nazywamy '''Układem statycznie jednokrotnie niewyznaczalny''', natomiast jeśli byłoby pięć niewiadomych to wtedy nazywamy '''Układem statycznie dwukrotnie niewyznaczalny'''. Aby rozwiązać układy statycznie niewyznaczalne należy wyznaczyć warunki: równowagi, geometryczne i fizyczne. Tok postępowania przy rozwiązywaniu układów statycznie niewyznaczalnych przeprowadzimy na konkretnych przypadkach.
{{Rysunek|Układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.svg|2.5|Układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny|pozycja=right|rozmiar=400px}}
:Wyznacz siły działające na pręty {{LinkRysunek|2.5}}. Pręty przytwierdzone są do sufitu na podporach przegubowych stałych, a ich drugi koniec do nieważkiej i sztywnej platformy. 
:Pręty mają długość <math>l</math> oraz sztywność <math>EA</math>, natomiast odległość między nimi wynosi <math>a</math>. Do platformy przyłożono siłę <math>P</math> jak to pokazano {{LinkRysunek|2.5}}.
:Poniżej układu zaznaczono możliwe wydłużenia prętów <math>\Delta l_{1}=\overline{AA_{1}}</math>; <math>\Delta l_{2}=\overline{BB_{1}}</math>; <math>\Delta l_{3}=\overline{CC_{1}}</math>
:Na samym początku trzeba ustalić jaki jest to układ. Szukamy sił działających na trzy pręty więc są trzy niewiadome, <math>N_{1}</math> dla pręta pierwszego, <math>N_{2}</math> dla pręta drugiego i <math>N_{3}</math> dla pręta trzeciego. Równań równowagi możemy napisać tylko dwa mianowicie:

:<math>N_{1}+N_{2}+N_{3}=P</math>

:<math>N_{1}\cdot2a+N_{2}\cdot a=0</math>

:Ponieważ są trzy niewiadome i dwa równania to ten układ jest '''układem statycznie jednokrotnie niewyznaczalnym'''. W pierwszym równaniu (suma wszystkich sił działających na układ musi się równoważyć) zakładamy że wszystkie siły są przeciwnie skierowane niż siła <math>P</math> co oznacza że wszystkie pręty są rozciągane. W drugim równaniu suma wszystkich momentów względem dowolnie obranego punktu równa się zeru.
:Ponieważ pręt trzeci znajduje się wzdłuż linii działania siły <math>P</math> to na pewno on jest rozciągany i się wydłuży natomiast nie jesteśmy wstanie określić czy pręt pierwszy jest ściskany czy rozciągany.
:Aby układ był statycznie wyznaczalny trzeba "dopisać" jeszcze jedno równanie aby liczba równań był równa liczbie niewiadomych. Dodatkowe równanie otrzymujemy z odkształceń.

:<math>\frac{\Delta l_{3}-\Delta l_{1}}{2a}=\frac{\Delta l_{2}-\Delta l_{1}}{a}</math> (warunek geometryczny)

:Po zastosowaniu [[Wytrzymałość_materiałów/Wiadomości_wstępne#Prawo_Hooke.27a|prawa Hooke'a]] otrzymujemy warunki fizyczne:

:<math>\Delta l_{1}=\frac{N_{1}l}{EA}</math>; <math>\Delta l_{2}=\frac{N_{2}l}{EA}</math>; <math>\Delta l_{3}=\frac{N_{3}l}{EA}</math>

:Po podstawieniu otrzymujemy 

:<math>\frac{\Delta l_{3}-\Delta l_{1}}{2a}=\frac{\Delta l_{2}-\Delta l_{1}}{a}=>\frac{\frac{N_{3}l}{EA}-\frac{N_{1}l}{EA}}{2a}=\frac{\frac{N_{2}l}{EA}-\frac{N_{1}l}{EA}}{a}=>\frac{N_{3}-N_{1}}{2a}=\frac{N_{2}-N_{1}}{a}=>N_{3}-N_{1}=2(N_{2}-N_{1})</math>

:<math>N_{3}-N_{1}=2(N_{2}-N_{1})</math> jest to trzecie równanie

:<math>\begin{cases}
N_{1}+N_{2}+N_{3}=P \\
N_{1}\cdot2a+N_{2}\cdot a=0 \\
N_{3}-N_{1}=2(N_{2}-N_{1})
\end{cases}</math>

:Po rozwiązaniu powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi ostatecznie otrzymujemy:

:<math>N_{1}=-\frac{1}{6}P</math>

:<math>N_{2}=\frac{1}{3}P</math>

:<math>N_{3}=\frac{5}{6}P</math>
:W pręcie trzecim i drugim wartość siły jest dodatnia więc pręty te są rozciągane, czyli zgodnie z naszym pierwotnym założeniem, natomiast przy pręcie pierwszym siła jest ujemna czyli pręt pierwszy jest ściskany. Nasze pierwotne założenie że wszystkie pręty są rozciągane jest błędne, dlatego {{LinkRysunek|2.5}} pod układem prętowym i pierwszym założeniem, zostały pokazane rzeczywiste odkształcenia prętów.
Powyższy przykład prezentuje że jest możliwe rozwiązanie przypadku gdy na gruncie statyki układ jest niemożliwy do wyznaczenia. Na samym początku ustalamy liczbę nie szukanych niewiadomych. Potem wypisujemy '''Warunki równowagi''' czyli równania równowagi dla danego układu. Z płaskiego układu możemy napisać dwa równania równowagi sił działających wzdłuż osi <math>x</math> (poziom) i <math>y</math> (pion) oraz jedno równanie równowagi momentów, ponieważ na oś <math>x</math> nie działa żadna siła to reakcje poziome nie występują. Następnym krokiem jest wyznaczenie '''Warunków geometrycznych''' które są wywołane odkształceniami (w powyższym układzie warunek ten wynika z podobieństwa trójkątów, dla przejrzystości nie zaznaczono ich na rysunku) powstałymi przez przyłożenie zewnętrznych sił. Ostatnim wymogiem jest określenie '''Warunków fizycznych''', układy rozwiązujemy w zakresie odkształceń sprężystych dlatego głównie korzystamy z prawa Hooke'a. Na podstawie warunków geometrycznych i fizycznych można ustalić brakujące równania które z równaniami równowagi (warunki równowagi) pozwolą na rozwiązanie układu. Na uwagę zasługuje fakt że w powyższym zadaniu dużym ułatwieniem było że pręty są jednakowe co do długości, pola przekroju i modułu Younga co powodowało że siły działające na pręty zależą tylko od przyłożonej zewnętrznej siły <math>P</math> co przypomina rozwiązanie układu statycznie wyznaczalnego. Natomiast gdyby różniły się sztywnością to siły wewnętrzne prętów nie tylko by zależały od działającej na układ siły lecz także od sztywności poszczególnych prętów. Przykładowy układ zostanie zaprezentowany poniżej.
{{Rysunek|Układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny 02.svg|2.6|Układ jednokrotnie statycznie niewyznaczalny|pozycja=right|rozmiar=400px}}
:Wyznacz siły działające na pręty {{LinkRysunek|2.6}}. Pręty przytwierdzone są do sufitu na podporach przegubowych stałych, a ich drugie końce są połączone ze sobą przegubowo i obciążone pionową siłą.
:Układ składa się z trzech prętów: ①<math>\overline{AD}</math>; ②<math>\overline{BD}</math>; ③<math>\overline{CD}</math>, pręty ① i ③ mają sztywność <math>E_{1}A_{1}=E_{3}A_{3}</math> natomiast pręt ② posiada sztywność <math>E_{2}A_{2}</math>. Pręt pierwszy i trzeci są jednakowe oraz mają taką samą długość co oznacza że przedstawiony układ jest symetryczny i punkt <math>D</math> pod działaniem siły <math>P</math> przemieści się pionowo w dół. 
:Dla materiałów konstrukcyjnych (stal, miedz itp.) gdy naprężenia w materiale nie przekraczają granicy sprężystości odkształcenia są niewielkie w porównaniu z wymiarami całego układu, co powoduje że możemy przyjąć że kąt przed i po odkształceniu jest taki sam <math>\alpha=\alpha_{1}\;\angle ADB=\angle AD_{1}B</math> oraz można zastąpić łuk jaki wykona pręt (① lub ③) prostą prostopadłą do pręta (① lub ③) w punkcie <math>A_{1}</math> lub <math>C_{1}</math>
:Długości poszczególnych prętów wynoszą:
:① <math>:l_{1}=\frac{l}{cos\alpha}</math>

:② <math>:l_{2}=l</math>

:③ <math>:l_{3}=\frac{l}{cos\alpha}</math>

:Postępujemy podobnie jak w poprzednim przypadku najpierw warunki równowagi czyli równania równowagi:

:<math>\sum F_{x}=0:\;N_{1}sin\alpha-N_{3}sin\alpha=0</math>

:<math>\sum F_{y}=0:\;N_{1}cos\alpha+N_{2}+N_{3}cos\alpha-P=0</math>

:I podobnie jak w powyższym zadaniu mamy dwa równania i trzy niewiadome więc układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny. Na uwagę zasługuje fakt że nie napisaliśmy równania dla momentów sił ponieważ niezależnie jaki punkt wybierzemy suma momentów równa się zeru wszystkie się znoszą, dowodem jest gdy wybierzemy punkt <math>D</math> jako środek obrotu wtedy wszystkie siły przechodzą przez ten punkt więc moment równy jest zeru.
:Ponieważ układ jest symetryczny wydłużenie pręta pierwszego równa się wydłużeniu pręta trzeciego co powoduje że otrzymujemy warunki geometryczne:

:<math>\Delta l_{1}=\Delta l_{3}</math>

:<math>\Delta l_{1}=\Delta l_{2}cos\alpha</math>

:Po zastosowaniu prawa Hooke'a otrzymujemy warunki fizyczne:

:<math>\Delta l_{1}=\frac{N_{1}l_{1}}{E_{1}A_{1}};\;\Delta l_{2}=\frac{N_{2}l_{2}}{E_{2}A_{2}};\;\Delta l_{3}=\Delta l_{1}</math>

:Z warunków równowagi otrzymujemy:

:<math>2N_{1}cos\alpha+N_{2}-P=0</math>

:Natomiast z warunków geometrycznych i fizycznych wyznaczamy:

:<math>\frac{N_{1}l_{1}}{E_{1}A_{1}}=\frac{N_{2}l_{2}}{E_{2}A_{2}}cos\alpha\;=>\frac{N_{1}\frac{l}{cos\alpha}}{E_{1}A_{1}}=\frac{N_{2}l}{E_{2}A_{2}}cos\alpha\;=>\frac{N_{1}}{E_{1}A_{1}cos\alpha}=\frac{N_{2}}{E_{2}A_{2}}cos\alpha</math>

:Ostatecznie mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

:<math>\begin{cases}
2N_{1}cos\alpha+N_{2}-P=0 \\
\frac{N_{1}}{E_{1}A_{1}cos\alpha}=\frac{N_{2}}{E_{2}A_{2}}cos\alpha
\end{cases}</math>

:<math>\begin{cases}
N_{1}=\frac{P-N_{2}}{2cos\alpha} \\
N_{1}=N_{2}\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{2}\alpha
\end{cases}</math>

:Należy przyrównać obie strony do siebie oraz wyznaczyć <math>N_{2}</math>:

:<math>\frac{P-N_{2}}{2cos\alpha}=N_{2}\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{2}\alpha</math>

:<math>P-N_{2}=N_{2}2\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{3}\alpha</math>

:<math>P=N_{2}+N_{2}2\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{3}\alpha</math>

:<math>P=N_{2}(1+2\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{3}\alpha)</math>

:<math>N_{2}=P\frac{1}{1+2\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{3}\alpha}</math> Siła rozciągająca pręt ②

:Po wyznaczeniu <math>N_{2}</math> podstawiamy tę wartość do poprzedniego równania i otrzymujemy:

:<math>N_{1}=P\frac{1}{1+2\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{3}\alpha}\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{2}\alpha</math>

:<math>N_{1}=P\frac{\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{2}\alpha}{1+2\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{3}\alpha}</math> Siła rozciągająca pręt ①

:<math>N_{3}=P\frac{\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{2}\alpha}{1+2\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}cos^{3}\alpha}</math> Siła rozciągająca pręt ③

:Jaj widać w układzie {{LinkRysunek|2.6}} wartość sił wewnętrznych zależy nie tylko od wartość siły <math>P</math> i geometrii układu (kąt <math>\alpha</math>) ale także zależy od sztywności poszczególnych prętów oraz ich wzajemne powiązanie (stosunek sztywności), co odróżnia układy statycznie niewyznaczalne od statycznie wyznaczalnych.
W [[Wytrzymałość_materiałów/Zadania#Zadanie_2.5|Zadaniu 2.5]] obliczaliśmy jakie siły działają na poszczególne części kolumny, w otaczającym nas świecie wiele jest obiektów składających się z różnych materiałów (kompozytów), dlatego następny przypadek posłuży nam do wyznaczenia ogólnej zależności jaka występuje w kolumnach składających się z kilku materiałów.
{{Rysunek|Axiale last - niet homogene dwarsdoorsnede.svg|2.7|Ściskanie kompozytów|pozycja=right|rozmiar=400px}}
:Obliczyć siły jakie występują w kolumnie o długości <math>L</math> ściskanej siłą osiową <math>P</math> rozłożoną równomiernie na całą powierzchnie. Słup jest o stałym polu przekroju <math>A</math> lecz składa się z trzech materiałów. Pola powierzchni poszczególnych materiałów oraz ich moduły Younga są znane. <math>A=A_{1}+A_{2}+A_{3}</math>
:Siła ściskająca kolumnę musi się rozłożyć na wszystkie trzy materiały:
:<math>P=N_{1}+N_{2}+N_{3}</math>
:Odkształcenie słupa zgodnie z prawem Hooke'a jest równe:
:<math>\Delta l=\frac{N_{1}L}{E_{1}A_{1}}=\frac{N_{2}L}{E_{2}A_{2}}=\frac{N_{3}L}{E_{3}A_{3}}</math>
:Z powyższych dwóch równań wyznaczamy następującą zależność:
:<math>P=\frac{\Delta l}{L}(E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}+E_{3}A_{3})</math>
:Którą można przekształcić do następującej postaci:
:<math>\Delta l=\frac{PL}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}+E_{3}A_{3}}</math>
:Z tej zależności oraz z zależności na odkształcenie kolumny układamy równania:
:<math>\frac{N_{1}L}{E_{1}A_{1}}=\frac{PL}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}+E_{3}A_{3}}</math>

:<math>\frac{N_{2}L}{E_{2}A_{2}}=\frac{PL}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}+E_{3}A_{3}}</math>

:<math>\frac{N_{3}L}{E_{3}A_{3}}=\frac{PL}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}+E_{3}A_{3}}</math>
:A następnie je upraszczamy:
:<math>N_{1}=P\frac{E_{1}A_{1}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}+E_{3}A_{3}}</math>

:<math>N_{2}=P\frac{E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}+E_{3}A_{3}}</math>

:<math>N_{3}=P\frac{E_{3}A_{3}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}+E_{3}A_{3}}</math>
Z powyższych równań widać że możemy wyznaczyć ogólną zależność na siłę jaka działa na konkretny materiał:
{{CentrujWzór|<MATH>N_{i}=P \cdot\frac {E_i \cdot A_i} {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(E_i \cdot A_i)}</MATH>|2.13|Obramuj}}
Dzięki wyrażeniu {{LinkWzór|2.14}} możemy obliczyć bez większych problemów siłę działającą na konkretny materiał w kompozycie co stanowi znaczne ułatwienie przy projektowaniu obiektów składających się z większej liczby materiałów. Jedyne ograniczenia to aby siła działająca przebiegała wzdłuż osi symetrii oraz pole przekroju <math>A_{i}</math> danego materiału było stałe na całej długości słupa. Wzór {{LinkWzór|2.14}} jest słuszny dla kolumn (prętów) składających się z dowolnej liczby materiałów, czy gdy mamy do czynienia z jednorodnym prętem lub gdy składa się z kilkunastu warstw.

==Układy wstępnie napięte==
W rzeczywistych schematach konstrukcyjnych ważnym czynnikiem oprócz właściwości materiałów składowych układu jest ich wykonanie, a dokładnie tolerancja wykonania. Przy produkcji części składowych trzeba brać pod uwagę że wykonanie zawsze odbiega od zaplanowanego przebiegu, pręt na całej swej długości może być w niektórych miejscach grubszy a w niektórych cięższy od zaplanowanej średnicy oraz sama długość może się różnić mianowicie pręt może być dłuższy lub krótszy. 

Zmiana średnicy pręta skutkuje '''spiętrzaniem naprężeń''' (koncentracją naprężeń) co w konsekwencji prowadzi do tego że naprężenia normalne w przekroju nie są jednorodne. Naprężenie maksymalne <math>\sigma_{max}</math> jest większe od średniej wartości naprężenia normalnego <math>\sigma_{n}</math> {{LinkRysunek|1.4|Wiadomości wstępne}} opisywanego wzorem {{LinkWzór|1.6|Wiadomości wstępne}}. Spiętrzenie występuje przy zmniejszeniu pola przekroju oraz maksymalna jego wartość występuje największym przewężeniu, natomiast zgodnie z [[Wytrzymałość_materiałów/Wiadomości_wstępne#Zasada_de_Saint-Venanta|zasadą de Saint-Venanta]] w trakcie oddalania się od zwężenia nierówność rozkładu naprężeń zmniejsza się aż do osiągnięcia zera. Wtedy można założyć że rozkład naprężeń jest jednorodny.

Zmiana długości pręta skutkuje głównie tym że geometria układu różni się od zaplanowanej. W układach statycznie wyznaczalnych zmienia się jedynie geometria układu, nie powstaną żadne siły wewnętrzne co prowadzi że układ nie będzie wstępnie obciążony. Natomiast w przypadku układu statycznie niewyznaczalnego {{LinkRysunek|2.6}} powstaną przy montowaniu konstrukcji odkształcenia i naprężenia bez udziału przyłożonych sił zewnętrznych. Taka konstrukcja nazywa się '''układem wstępnie napiętym'''.
{{Rysunek|Axiale last voorspanning.svg|2.8|Zespół pręta i tulei (układ wstępnie napięty)|pozycja=right|rozmiar=400px}}
:Do analizy układu wstępnie napiętego posłużymy się schematem obok {{LinkRysunek|2.8}} a na początku tylko jego trzema pierwszymi rysunkami. Jak widać składa się on z pręta ① oraz z ② tulei. Pręt posiada następującą sztywność <math>E_{1}A_{1}</math> i długość <math>L_{1}</math> natomiast rura  posiada sztywność <math>E_{2}A_{2}</math> i długość <math>L_{2}</math>. Jak widać na rysunku tuleja i pręt nie mają jednakowych długości, mianowicie tulejka jest o <math>\delta_{1}</math> dłuższa niż rurka co można zapisać w następujący sposób <math>L_{1}+\delta_{1}=L_{2}</math>. Układ się montuje po przez rozciągnięcie pręta siłą <math>X</math> do długości tulei <math>L_{2}</math> a następnie zamocowaniu tulei i pręta w pokazany sposób. Po zamocowaniu rury zwalnia się siłę <math>X</math> co prowadzi do ustalenia się nowych długości tulei i pręta. Nowa długość jest wspólna dla dla obu podzespołów układu, z schematu trzeciego {{LinkRysunek|2.8}} wyznaczamy że nowa długość zespołu wynosi <math>L_{2}-\delta_{2}</math>.
:Zmiana długości pręta i tulei jest spowodowana działaniem siły wewnętrznej, występuje ona w tym układzie dopiero po zwolnieniu siły <math>X</math>. Pręt próbuje ścisnąć tuleje a jednocześnie tuleja usiłuje rozciągnąć pręt. Ponieważ na układ nie działa żadna siła zewnętrzna to siłę wewnętrzną wyznaczymy z warunku nierozdzielności przemieszczeń

:<math>\Delta l_{1}+\delta_{2}=\delta_{1}</math> (warunek geometryczny)

:gdzie <math>\Delta l_{1}=\delta_{1}-\delta_{2}</math> oznacza wydłużenie pręta a <math>\delta_{2}</math> skrócenie tulei.

:<math>\frac{NL_{1}}{E_{1}A_{1}}+\frac{NL_{2}}{E_{2}A_{2}}=\delta_{1}</math>

:<math>N=\frac{\delta_{1}}{\frac{L_{1}}{E_{1}A_{1}}+\frac{L_{2}}{E_{2}A_{2}}}=\frac{L_{2}-L_{1}}{\frac{E_{1}A_{1}L_{2}+E_{2}A_{2}L_{1}}{E_{1}A_{1}E_{2}A_{2}}}</math>

:Przedstawiona konstrukcja jest układem wstępnie napiętym, znamy siłę wewnętrzną więc możemy wyznaczyć naprężenia ze wzoru {{LinkWzór|1.6|Wiadomości_wstępne}} oraz odkształcenia {{LinkWzór|1.4|Wiadomości_wstępne}} co prowadzi do:

:<math>\sigma_{1}=\frac{\delta_{1}}{A_{1}\left(\frac{L_{1}}{E_{1}A_{1}}+\frac{L_{2}}{E_{2}A_{2}}\right)}</math> (Naprężenia w pręcie)

:<math>\sigma_{2}=\frac{\delta_{1}}{A_{2}\left(\frac{L_{1}}{E_{1}A_{1}}+\frac{L_{2}}{E_{2}A_{2}}\right)}</math> (Naprężenia w tulei)

:<math>\Delta l_{1}=\frac{NL_{1}}{E_{1}A_{1}}=\frac{L_{2}-L_{1}}{\frac{E_{1}A_{1}L_{2}+E_{2}A_{2}L_{1}}{E_{1}A_{1}E_{2}A_{2}}}\frac{L_{1}}{E_{1}A_{1}}=\frac{(L_{2}-L_{1})E_{2}A_{2}L_{1}}{E_{1}A_{1}L_{2}+E_{2}A_{2}L_{1}}</math> (wydłużenie pręta)

:<math>\delta_{2}=\frac{NL_{2}}{E_{2}A_{2}}=\frac{L_{2}-L_{1}}{\frac{E_{1}A_{1}L_{2}+E_{2}A_{2}L_{1}}{E_{1}A_{1}E_{2}A_{2}}}\frac{L_{2}}{E_{2}A_{2}}=\frac{(L_{2}-L_{1})E_{1}A_{1}L_{2}}{E_{1}A_{1}L_{2}+E_{2}A_{2}L_{1}}</math> (skrócenie tulei)

:Przeanalizujemy teraz schemat czwarty z {{LinkRysunek|2.8}} czyli gdy na układ wstępnie napięty działa siła zewnętrzna, w tym przypadku siła <math>P</math> rozciąga układ. Do wyznaczenia odkształcenia <math>\delta_{3}</math> posłużymy się założeniem że różnica długości tulei i pręta jest niewielka <math>L_{2}=L_{1}=L</math>, co pozwoli na uproszczenie równań a nie będzie odbiegać znacznie od prawdy. Dla przejrzystości zadanie rozwiążemy od początku dla tego założenia.

:<math>N_{1}+N_{2}-P=0</math> (warunek równowagi)
::gdzie: 
:::<math>N_{1}</math> - siła działająca na pręt 
:::<math>N_{2}</math> - siła działająca na tuleje
:Przy wyznaczaniu warunku geometrycznego załóżmy że pręt i tuleja pod działaniem zewnętrznej siły rozciągają się:
:<math>\delta_{2}=\Delta l_{1}-\delta_{1}</math> (warunek nierozdzielności przemieszczeń)
:<math>\Delta l_{1}=\frac{N_{1}L}{E_{1}A_{1}}\qquad\delta_{2}=\frac{N_{2}L}{E_{2}A_{2}}</math> (warunek fizyczny)
:Z warunku geometrycznego i fizycznego otrzymujemy:
:<math>\frac{N_{2}L}{E_{2}A_{2}}=\frac{N_{1}L}{E_{1}A_{1}}-\delta_{1}</math>

:<math>\frac{N_{2}}{E_{2}A_{2}}=\frac{N_{1}}{E_{1}A_{1}}-\frac{\delta_{1}}{L}</math>

:<math>N_{2}=N_{1}\frac{E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}}-\frac{\delta_{1}}{L}E_{2}A_{2}\qquad\qquad\qquad\qquad N_{1}=N_{2}\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}+\frac{\delta_{1}}{L}E_{1}A_{1}</math>
:Powyższą zależność podstawiamy do warunku równowagi i otrzymujemy:
:<math>N_{1}+N_{1}\frac{E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}}-\frac{\delta_{1}}{L}E_{2}A_{2}=P\qquad\qquad\qquad N_{2}\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}+\frac{\delta_{1}}{L}E_{1}A_{1}+N_{2}=P</math>

:<math>N_{1}(1+\frac{E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}})=P+\frac{\delta_{1}}{L}E_{2}A_{2}\qquad\qquad\qquad N_{2}(\frac{E_{1}A_{1}}{E_{2}A_{2}}+1)=P-\frac{\delta_{1}}{L}E_{1}A_{1}</math>

:<math>N_{1}\frac{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}}=P+\frac{\delta_{1}}{L}E_{2}A_{2}\qquad\qquad\quad N_{2}\frac{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}{E_{2}A_{2}}=P-\frac{\delta_{1}}{L}E_{1}A_{1}</math>

:<math>N_{1}=P\frac{E_{1}A_{1}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}+\frac{\delta_{1}}{L}\frac{E_{1}A_{1}E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}\qquad N_{2}=P\frac{E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}-\frac{\delta_{1}}{L}\frac{E_{1}A_{1}E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}</math>
:Otrzymane wyniki są zgodne z powyższymi ponieważ gdy wartość siły zmniejszymy do zera to zauważamy że siły wewnętrzne są sobie równe co do wartości oraz <math>N_{2}</math> jest ujemna co oznacza że tuleja jest ściskana.
:<math>N=\frac{\delta_{1}}{\frac{L_{1}}{E_{1}A_{1}}+\frac{L_{2}}{E_{2}A_{2}}}=\delta_{1}\frac{E_{1}A_{1}E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}L_{2}+E_{2}A_{2}L_{1}}\qquad gdy\qquad L_{1}=L_{2}\qquad to\qquad N=\delta_{1}\frac{E_{1}A_{1}E_{2}A_{2}}{L(E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2})}=\frac{\delta_{1}}{L}\frac{E_{1}A_{1}E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}=N_{1}=N_{2}</math>
:Od razu trzeba zaznaczyć że wartość siły zewnętrznej nie może być dowolnie duża, ponieważ po przekroczeniu pewnej granicznej siły <math>X</math> (zależnej od układu i jego sztywności) układ traci charakter układu wstępnie napiętego. W tym przypadku {{LinkRysunek|2.8}} po przekroczeniu wartości <math>X</math> tuleja wraca do poprzedniej długości <math>L_{2}</math>, ponieważ w żaden sposób tuleja nie jest przymocowana na stałe do pręta znajdującego się w środku tulei to przy jeszcze większym wzroście siły zewnętrznej będziemy mieli do czynienia tylko z rozciąganiem pręta, natomiast długość tulei pozostanie na stałym poziomie <math>L_{2}</math>.
:Przy wyznaczeniu granicznej wartości siły zewnętrznej <math>P_{GR}=X</math> po której układ traci charakter układu wstępnie napiętego posłużymy się wzorem {{LinkWzór|1.4|Wiadomości wstępne}} określającym prawo Hooke'a.

:<math>\delta_{1}=\frac{XL_{1}}{E_{1}A_{1}}\;=>\;X=\frac{\delta_{1}}{L_{1}}E_{1}A_{1}=\frac{L_{2}-L_{1}}{L_{1}}E_{1}A_{1}</math>

:Ostatecznie zostało nam obliczenie odkształceń, najpierw przy <math>P=0</math> otrzymujemy:

:<math>\Delta l_{1}=\frac{\delta_{1}E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}</math> (wydłużenie pręta)

:<math>\delta_{2}=-\frac{\delta_{1}E_{1}A_{1}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}</math> (skrócenie tulei)

:Całkowite odkształcenie układu wstępnie napiętego na którego działa siła zewnętrzna jest następującą sumą:

:<math>\Delta l_{1}+\delta_{3}=\frac{(P\frac{E_{1}A_{1}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}+\frac{\delta_{1}}{L}\frac{E_{1}A_{1}E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}})L}{E_{1}A_{1}}=\frac{PL}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}+\delta_{1}\frac{E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}+E_{2}A_{2}}</math> (wydłużenie pręta)
Powyższy przykład pokazuje że do rozwiązywania układów wstępnie napiętych dogodne jest przyjęcie założenia że różnice długości w poszczególnych częściach są tak małe w porównaniu z długością że można przyjąć że są jednakowe. 
:Na koniec przeanalizujemy przypadek {{LinkRysunek|2.6}} lecz trochę go przekształćmy, niech siła zewnętrzna <math>P=0</math> równa się zeru oraz pręt ② będzie o <math>\delta</math> za krótki.
:Warunki równowagi:
:<math>\sum F_{x}=0:N_{1}sin\alpha-N_{3}sin\alpha=0\qquad=>\qquad N_{1}=N_{3}</math>

:<math>\sum F_{y}=0:N_{2}-N_{1}cos\alpha-N_{3}cos\alpha=0\qquad=>\qquad N_{2}=2N_{1}cos\alpha</math>

:Warunek geometryczny:

:<math>\delta=\Delta l_{1}\frac{1}{cos\alpha}+\Delta l_{2}\qquad\Delta l_{1}=\Delta l_{3}</math>

:Warunki fizyczne:

:<math>\Delta l_{1}=\frac{N_{1}l}{E_{1}A_{1}cos\alpha}\qquad\Delta l_{2}=\frac{N_{2}l}{E_{2}A_{2}}</math>

:Z powyższych warunków otrzymujemy:

:<math>\delta=\frac{N_{1}l}{E_{1}A_{1}cos\alpha}\cdot\frac{1}{cos\alpha}+\frac{N_{2}l}{E_{2}A_{2}}=\frac{N_{1}l}{E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha}+\frac{N_{2}l}{E_{2}A_{2}}</math>

:<math>\frac{\delta}{l}=\frac{N_{1}}{E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha}+\frac{N_{2}}{E_{2}A_{2}}</math>

:<math>N_{2}=\frac{\delta}{l}E_{2}A_{2}-\frac{N_{1}E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha}=2N_{1}cos\alpha\qquad N_{1}=\frac{\delta}{l}E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha-\frac{N_{2}E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha}{E_{2}A_{2}}=\frac{N_{2}}{2cos\alpha}</math>

:<math>\frac{\delta}{l}E_{2}A_{2}=N_{1}\left(2cos\alpha+\frac{E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha}\right)\qquad\frac{\delta}{l}E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha=N_{2}\left( \frac{E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha}{E_{2}A_{2}}+\frac{1}{2cos\alpha}\right)</math>

:<math>N_{1}=\frac{\delta}{l}\cdot\frac{E_{2}A_{2}}{2cos\alpha+\frac{E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha}}</math>

:<math>N_{2}=\frac{\delta}{l}\cdot\frac{2cos\alpha E_{2}A_{2}}{2cos\alpha+\frac{E_{2}A_{2}}{E_{1}A_{1}cos^{2}\alpha}}</math>

==Naprężenia i odkształcenia wywołane rozszerzalnością cieplną==
Jak wiadomo zmiana temperatury powoduje zmianę wymiarów przedmiotu. Długość prętów stosowanych w konstrukcjach jest znacznie większa od wymiarów poprzecznych dlatego zmiana długości jest znacznie większa od zmiany pola powierzchni przekroju pręta, co prowadzi do tego że można pominąć przy niektórych przypadkach zmianę wymiarów poprzecznych.

Pręt o długości <math>l</math> i o temperaturze <math>T</math> został ogrzany o <math>\Delta T</math> co spowodowało jego wydłużenie o <math>\Delta l</math>. Końcowa długość pręta w temperaturze <math>T+\Delta T</math> wynosi <math>l+\Delta l</math>. Badania dla materiałów konstrukcyjnych wykazały że zależność zmiany długości od zmiany temperatury jest liniowa co można zapisać w następujący sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>l+\Delta l=l+l\alpha_{o}\Delta T</MATH>|2.14|Obramuj}}
:gdzie:
::<math>l</math> - początkowa długość pręta
::<math>\Delta l</math> - wydłużenie 
::<math>\alpha_{o}</math> - współczynnik rozszerzalności liniowej
::<math>\Delta T</math> - zmiana temperatury
Zgodnie z wzorem {{LinkWzór|2.14}} wydłużenie pręta zależy jedynie od długości początkowej, współczynnika rozszerzalności liniowej i zmiany temperatury natomiast nie zależy od temperatury początkowej <math>T</math>. Wcześniej zaznaczono że współczynnik rozszerzalności jest stały co prowadzi do liniowej zależności charakterystyki <math>\Delta l(\Delta T)</math> jednak dla niektórych materiałów oraz dla dużo większych wartości zmian temperatury wykres charakterystyki nie jest liniowy. Jednak dla celów konstrukcyjnych przyjmuje się że współczynnik rozszerzalności jest stały i nie zależy od temperatury.

Wyrażenie {{LinkWzór|2.14}} można przekształcić do następującej postaci:

{{CentrujWzór|<MATH>\varepsilon=\frac{\Delta l}{l}=\alpha_{o}\Delta T</MATH>|2.15|Obramuj}}

Gdy oprócz zmiany temperatury występuje naprężenie to odkształcenie wyraża się następującym wzorem:

{{CentrujWzór|<MATH>\varepsilon=\frac{\sigma}{E}+\alpha_{o}\Delta T</MATH>}}

:Do zobrazowania zagadnienia znowu posłużymy się pokazanym na {{LinkRysunek|2.6}}, układ ten zostanie poddany zmianie temperatury o <math>\Delta T</math>. Dla ułatwienia założymy że siła zewnętrzna <math>P</math> jest równa zeru, oraz że wszystkie trzy pręty zostały zrobione z tego samego materiału i mają te same pola przekrojów poprzecznych.
:Warunki równowagi:
:<math>-N_{1}sin\alpha+N_{3}sin\alpha=0</math>
:<math>N_{1}cos\alpha+N_{2}+N_{3}cos\alpha=0</math>
:Warunki geometryczne - wyznaczamy z warunku nierozdzielności przemieszczeń
:<math>\Delta l_{1}=\Delta l_{2}cos\alpha=\Delta l_{3}</math>
:Warunki fizyczne:
:Całkowite wydłużenie jest sumą wydłużenia wywołanego zmianą temperatury oraz wydłużenia spowodowanego siłami wewnętrznymi.
:<math>\Delta l_{1}=\frac{N_{1}l_{1}}{EA}+\alpha_{0}\Delta T l_{1}</math>

:<math>\Delta l_{2}=\frac{N_{2}l_{2}}{EA}+\alpha_{0}\Delta T l_{2}</math>

:<math>\Delta l_{3}=\frac{N_{3}l_{3}}{EA}+\alpha_{0}\Delta T l_{3}</math>

<noinclude>{{Nawigacja|Wytrzymałość materiałów|[[../Wiadomości wstępne|Wiadomości wstępne]]|[[../Charakterystyki geometryczne przekroju|Charakterystyki geometryczne przekroju]]}}</noinclude>