Tekst źródłowy strony Testwiki:Brudnopis/Persino/Szczególna teoria względności/Podstawy teorii względności

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaStart}}</noinclude>
{{Status|-25%}}
==Podstawy transformacji Galileusza i Lorentza==
Prawa transformacyjne położenia ciała w czasoprzestrzeni z jednego układu współrzędnych do drugiego są:
{{CentrujWzór|<MATH>{\vec X}^'=\vec{f}({\vec X})\;</MATH>|1.1}}
gdzie:
*położenie ciała w starym układzie współrzędnych:{{Formuła|<MATH>\vec{X}=[ct,x_1,x_2,x_3,..,x_i,...,x_n]^T\;</MATH>}}, a także wielkości primowane w stosunku do poprzedniego mamy w postaci:{{Formuła|<MATH>{\vec X}^'=[ct^',x_1^',x_2^',x_3^',..,x_i^',...,x_n^']^T\;</MATH>}} jako położenie ciała w nowym układzie współrzędnych,
*jeśli potraktować czas jako zerową współrzędną w (n+1)-wymiarowej czasoprzestrzeni.

Różniczka zmiany położenia danego ciała w czasie, korzystając z definicji różniczki zupełnej z analizy matematycznej jest przedstawiona:
{{CentrujWzór|<MATH>d{\vec X}^'={{\partial{\vec f}({\vec X})}\over{\partial {\vec X}}}d{\vec X}\;</MATH>|1.2}}
Załóżmy, że macierz występująca w {{LinkWzór|1.2}} jest stałą o charakterze macierzowym, stąd dojdziemy, że ona opisuje układy płaskie (tensor Minkowskiego {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}}) i inercjalne ({{Formuła|<MATH>\vec V=\mbox{const}\;</MATH>}}). Ciało, które ma położenie w starym układzie współrzędnych w czasoprzestrzeni {{Formuła|<MATH>{\vec X}_P\;</MATH>}}, po przesunięciu tego układu o wektor {{Formuła|<MATH>-\vec{C}\;</MATH>}}, wtedy to ciało ma położenie {{Formuła|<math>\vec{X}\;</math>}}, co tą transformację możemy pisać:
{{CentrujWzór|<MATH>{ \vec X}={ \vec X}_P+{ \vec C}\;</MATH>|1.3}}
*gdzie {{Formuła|<MATH>{\vec C}=[c^0,c^1,c^2,c^3,...,c^i,...,c^n]^T\;</MATH>}} jest pewną stałą wektorową, a wektor {{Formuła|<MATH>\vec X_P\;</MATH>}} jest to położenie ciała w układzie przed przesunięciem, a {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} po przesunięciu.

Jak zachodzi w starym układzie współrzędnych {{LinkWzór|1.3}} (bez primów) to podobnie jest dla nowego układu współrzędnych (tylko, że z primami).

Możemy wykorzystać {{LinkWzór|1.3}} bez primów i z primami do wzoru na nieskończenie małą zmianę położenia ciała w czasoprzestrzeni w nowym układzie współrzędnych względem jego starego wychodząc ze wzoru {{LinkWzór|1.2}} dla {{Formuła|<MATH>\vec X=\vec X_P\;</MATH>}} pamiętając, że zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec C=\operatorname{const}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec C^'=\operatorname{const}^'\;</MATH>}}, stąd:
{{CentrujWzór|<MATH>d{\vec X}^'_P={{\partial {\vec f}({\vec X}_P)}\over{\partial {\vec X}_P}}d{\vec X}_P\Rightarrow d{\vec X}^'={{\partial {\vec f}({\vec X}_P)}\over{\partial {\vec X}_P}}d{\vec X}\Rightarrow M={{\partial {\vec f}({\vec X})}\over{\partial {\vec X}}}={{\partial {\vec f}({\vec X}_P)}\over{\partial {\vec X}_P}}=\left[\operatorname{const}_{\mu\nu}\right]_{n+1\times n+1}\;</MATH>|1.4}}
W układzie według teorii Einsteina wynika, że równanie {{LinkWzór|1.2}} nie zależy od tego o jaki wektor {{Formuła|<MATH>-\vec{C}\;</MAth>}} przesuniemy stary i wektor {{Formuła|<MATH>-{\vec C}^'</MATH>}} nowy układ współrzędnych, postać transformacji {{LinkWzór|1.1}} dla {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} transformujące się do {{Formuła|<MATH>\vec X^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec X_{P}\;</MATH>}} transformujące się do {{Formuła|<MATH>\vec X_P^'\;</MATH>}} jest z dokładnością do stałej wektorowej taka sama (bo ta pochodna dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} jest stałą w {{LinkWzór|1.2}}, dlatego że zachodzi {{LinkWzór|1.4}} (końcowy wzór)), zatem przedostatni wzór w {{LinkWzór|1.4}} opisuje to samo, co wzór {{linkWzór|1.2}}, pamiętając o udowodnionej stałości pochodnej: {{Formuła|<Math>{{\partial {\vec f}({\vec X})}\over{\partial{\vec X}}}\;</MAth>}}, wtedy ta postać transformacji spełnia zasadę jednorodności przestrzeni i czasu, a transformacja ze starego układu współrzędnych do nowego przedstawia się:
{{Określenie|uchwyt=FF|czego=Transformacje tensora położenia w czasoprzestrzeni płaskiej|tekst=Transformacje współrzędnych ciała ze starego układu odniesienia do nowego w przestrzeni n-wymiarowej, pamiętając, że czas jest współrzędną, przedstawiają się n+1 wzorami:
{{ElastycznaKolumna|1={{CentrujWzór|<math>t^'={m^{0}}_{0}t+{{{m^{0}}_{1}x^1}\over{c}}+{{{m^{0}}_{2}x^2}\over{c}}+{{{m^{0}}_{3}x^3}\over{c}}+...+{{{m^{0}}_{n}x^n}\over{c}}+{{r^0}\over{c}}\;</MATH>|1.5}}|2={{CentrujWzór|<math>{x^'}^1={m^{1}}_{0}ct+{m^{1}}_{1}x^1+{m^{1}}_{2}x^2+{m^{1}}_{3}x^3+...+{m^{1}}_{n}x^{n}+r^{1}\;</MATH>|1.6}}|3={{CentrujWzór|<math>{x^'}^2={m^{2}}_{0}ct+{m^{2}}_{1}x^1+{m^{2}}_{2}x^2+{m^{2}}_{3}x^3+...+{m^{2}}_{n}x^{n}+r^{2}\;</MATH>|1.7}}|4={{CentrujWzór|<math>{x^'}^3={m^{3}}_{0}ct+{m^{3}}_{1}x^1+{m^{3}}_{2}x^2+{m^{3}}_{3}x^3+...+{{m^3}}_{n}x^{n}+r^{3}\;</MATH>|1.8}}|5=<p><center>---------------------------------------------------------------------</center></p>
|6={{CentrujWzór|<math>{x^'}^n={m^{n}}_{0}ct+{m^{n}}_{1}x^1+{m^{n}}_{2}x^2+{m^{n}}_{3}x^3+...+{m^{n}}_{n}x^n+r^{n}\;</MATH>|1.9}}}}
}}
Na podstawie wzoru {{linkWzór|1.6}}, {{linkWzór|1.7}}, {{LinkWzór|1.8}} i {{LinkWzór|1.9}} transformacja współrzędnych ze starego układu do nowego piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{X}^'_p=M_p \vec{X}_p+M_{x0}ct+\vec{R}_{p0}\wedge \vec X^'=MX+{\vec R}_0\;</MATH>|1.10}}
*gdzie&nbsp;{{Formuła|<MATH>\vec{X}_p=[x_1,x_2,...,x_n]^T\;</MATH>}}.
Wektor wodzący ciała odniesienia względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie  współrzędnych z oczywistych powodów jest równa zero, zatem wzór {{LinkWzór|1.10}} możemy napisać:
{{CentrujWzór|<MATH>0=M_p\vec{X}_{pu}+M_{x0}ct+\vec{R}_{p0}\wedge {\vec R}_0=-M{\vec X}_{0}\;</MATH>|1.11}}
Jeśli we wzorze {{LinkWzór|1.11}} wyznaczymy wielkość {{Formuła|<math>M_{x0}ct+\vec{R}_{p0}\;</math>}} i podstawimy go do wzoru {{LinkWzór|1.10}}, wtedy dostajemy wzór na transformację położenia ciała w starym układzie odniesienia na nowy układ. Wiedząc jakie jest położenie w przestrzeni ciała odniesienia w starym układzie odniesienia i w tym układzie możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie odniesienia i wiedząc jakie jest położenie ciała w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej w starym układzie współrzędnych możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie współrzędnych znając położenie stałe nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>{\vec R}_O\;</MATH>}} względem starego układu współrzędnych, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{X}^'_p=M_p\left(\vec{X}_p-\vec{X}_{pu}\right)\wedge {\vec X}^'=M(\vec X-\vec X_0)\;</MATH>|1.12}}
Wzór {{LinkWzór|1.12}} jest spełniony, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami ogólnie nieprostokątnymi, w którym dla czasoprzestrzeni mamy {{Formuła|<MATH>B=[\vec e_0,\vec e_1,\vec e_2,\cdots,\vec e_n]\;</MATH>}}.

==Tożsamość na część macierzy transformacji M na M<sub>x0</sub>==
Wyprowadźmy wzór na wielkość M<sub>x0</sub> zakładając stałość macierzy {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}}, wiemy jednak przecież, że prędkość ciała odniesienia, względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych jest napisana {{Formuła|<MATH>{{d\vec{X_u}}\over{dt}}=\vec{V}\;</MATH>}}, i dalej zróżniczkujmy wzór {{LinkWzór|1.10}} względem czasu w starym układzie współrzędnych i wyznaczmy z niego tą wspomnianą macierz:
{{CentrujWzór|<MATH>0=M_p\vec{V}+M_{x0}c\Rightarrow M_{x0}=-M_p{{\vec{V}}\over{c}}\;</MATH>|1.16a}}
Z końcowych rozważań {{linkWzór|1.16a}} możemy napisać, że pierwszą kolumnę bez zerowego wiersza macierzy transformacji przedstawiamy:
{{CentrujWzór|<MATH>{m^{i}}_{0}=-{m^{i}}_{j}{{V^j}\over{c}}\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>j=1,2,3,...,n\;</MATH>|1.16b}}
<noinclude>{{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>