Tekst źródłowy strony Ogólna teoria względności/Fizyka w słabozakrzywionych czasoprzestrzeniach

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Tutaj będziemy rozpatrywać czy równania grawitacji Einsteina (Ogólnej teorii względności) przechodzą w równania Newtona. Jaki jest warunek zachowawczy dla pól grawitacyjnych, oraz czy wzór na energię całkowitą w przybliżeniu małych pól i małych pędów, czy przechodzi na energię cząstki w polu grawitacyjnym znanego z mechaniki klasycznej.

=== Fizyka w słabych stacjonarnych polach grawitacyjnych ===
Teraz będziemy rozpatrywać metrykę w słabo zakrzywionych czasoprzestrzeniach, które wcześniej wyznaczyliśmy dla słabych pól grawitacyjnych Newtonowskich, którego interwał czasoprzestrzenny dla słabego pola grawitacyjnego jest już wyznaczony i jest w postaci {{LinkWzór|5.65|Słabe_pola_grawitacyjne}}, nasz rozważany interwał jest zależny o potencjału skalarnego pola Newtowskiego.
Stosując definicję czterowektora prędkości, którą w ogólnej teorii względności tak samo zapisujemy jak szczególnej teorii względności, tylko że w tym pierwszym przypadku interwał czasoprzestrzenny jest ściśle określany, i zapisujemy go wedle sposobu {{LinkWzór|1.7|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}.
Różniczka interwału czasoprzestrzennego występującego w pochodnej przy definicji czterowektora prędkości jest zdefiniowany tak by kwadrat był zdefiniowany wedle sposobu {{LinkWzór|1.3|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, wtedy możemy napisać część przestrzenna czteroprędkości przy pomocy pochodnej względem czasu:
{{CentrujWzór|<MATH>u^{i}={{dx^{i}}\over{dt}}{{dt}\over{ds}}</MATH>|6.1}}
Naszą metrykę {{LinkWzór|5.65|Słabe_pola_grawitacyjne}} przedstawiamy wyłączając przed pierwiastek wyrażenie cdt w naszej różniczce interwału czasoprzestrzennego, którego czas t jest liczony w sekundach:
{{CentrujWzór|<MATH>ds=cdt\sqrt{\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right){{v^2}\over{c^2}}}</MATH>|6.2}}
Pochodna czterowektora położenia dla współrzędnych przestrzennych w naszej rozważanej metryce jest:
{{CentrujWzór|<MATH>u^{i}=v^i{{dt}\over{cdt\sqrt{\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right){{v^2}\over{c^2}}}}}={{v^i}\over{c}}\left(\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)-
\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right){{v^2}\over{c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}</MATH>|6.3}}

Części przestrzenna czterowektora prędkości są równa zero, bo zachodzi v<<c dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, wtedy  wyrażenie w nawiasie w {{LinkWzór|6.3}} dla słabych pól grawitacyjnych jest równe zero. Cześć czasowa czterowektora prędkości przybliżeniu jest równa jeden:
{{CentrujWzór|<MATH>u^0={{dx^0}\over{ds}}={{dx^0}\over{dt}}{{dt}\over{ds}}\simeq{{cdt}\over{dt}}{{dt}\over{cdt}}=1</MATH>{{Tekst|,a także }}<MATH>u^i\simeq 0</MATH>{{Tekst|, bo }}<MATH>{{v}\over{c}}<<1</MATH>|6.4}}
co to wynika z wyrażenia na u{{Sup|i}} opisanej powyżej dla słabych pól grawitacyjnych, ale też musi być spełnione: {{Formuła|<MATH>{{\varphi}\over{c^2}}<<1</MATH>}}, aby prędkość zerowa czerowektora prędkości była równa w przybliżeniu jeden.
Z własności prędkości w czterowektorze, można udowodnić, że można pominąć prędkości dla &mu;&ne; 0,  rozważyć tylko będziemy przypadek &mu;=0, dla którego u{{Sup|0}}&asymp;1, stąd drugi wyraz w równaniu na linie geodezyjne na ruch po stycznej można przedstawić:
{{CentrujWzór|<MATh>{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}={\Gamma^{\mu}}_{00}u^0u^0=
{\Gamma^{\mu}}_{00}</MATH>|6.5}}
Na podstawie {{LinkWzór|6.5}} równanie ruchu cząstki po stycznej wedle równania na linie geodezyjne {{LinkWzór|1.74|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} jest wyrażone:
{{CentrujWzór|<MATH>{{du^{\mu}}\over{ds}}+{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}\Rightarrow {{du^{\mu}}\over{ds}}+{\Gamma^{\mu}}_{00}=0</MATH>|6.6}}
To co nam pozostało do policzenia w równaniu {{LinkWzór|6.6}} jest policzenie elementów tensora Christoffela, tzn. elementów &Gamma;{{Sup|&mu;}}{{Sub|00}}. Tutaj policzymy najpierw &Gamma;{{Sup|0}}{{Sub|00}}, i dalej elementy tensora &Gamma;{{Sup|i}}{{Sub|00}}.
Policzmy tensor Christoffela dla &mu;=0, a więc:
{{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^0}_{00}={{1}\over{2}}g^{00}\left(g_{00,0}+g_{00,0}-g_{00,0}\right)={{1}\over{2}}g^{00}g_{00,0}</MATH>|6.7}}
Według naszej metryki {{LinkWzór|5.63|Słabe_pola_grawitacyjne}}, mamy składowe tylko diagonalne tensora metrycznego dla omawianego słabego pola grawitacyjnego Newtonowskiego, dzięki którego elementy tensora metrycznego tworzą interwał czasoprzestrzenny opisującego słabe pole Newtonowskie {{LinkWzór|5.65|Słabe_pola_grawitacyjne}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>g_{00}=1+{{2\varphi}\over{c^2}}\;</MaTH>|6.8}}|2={{CentrujWzór|<MATH>g_{ij}=\left(-1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\delta_{ij}</MATH>|6.9}}}}
Ogólnie mówiąc pochodna tensora metrycznego względem x{{Sup|&mu;}} dla metryki newtonowskiej obowiązującego w ogólnej teorii względności dla słabych pól grawitacyjnych, dla wszystkich jego składowych, piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha\beta,\mu}={{2}\over{c^2}}\varphi_{,\mu}\delta_{\alpha\beta}</MATH>|6.10}}

Elementy odwrotne tensora metrycznego liczymy podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|6.8}} i {{LinkWzór|6.9}}, które potrzebne będą nam do policzenia elementów tensora Christoffela wraz z elementami tensora prostego metrycznego:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>g^{00}=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}\;</MATH>|6.11}}|2={{CentrujWzór|<MATH>g^{ij}=\left(-1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}\delta^{ij}</MATH>|6.12}}}}
Tensor Christoffela dla wszystkich wskaźników zerowych w tym tensorze {{LinkWzór|6.7}} po wykorzystaniu policzonego elementu tensora metrycznego odwrotnego też o zerowych  wskaźnikach {{LinkWzór|6.11}}, a także na podstawie policzonego elementu tensora prostego metrycznego zapisane w punkcie {{LinkWzór|6.8}}, możemy napisać:
{{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^0}_{00}={{1}\over{2}}\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}{{2}\over{c^2}}\varphi_{,0}=
{{\varphi_{,0}}\over{c^2+2\varphi}}=
{{\varphi_{,0}}\over{c^2}}=
{{\partial\varphi}\over{\partial x_0}}{{1}\over{c^2}}=
{{1}\over{c^3}}{{\partial \varphi}\over{\partial dt}}={{1}\over{c^3}}{{\partial \varphi}\over{\partial dt}}</MATH>|6.13}}
Dla małych prędkości względem prędkości światła, wykorzystując wzór {{LinkWzór|6.6}} w czasoprzestrzeni prawie płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego dla wskaźnika &mu; zerowego, można napisać tożsamość na linie geodezyjne:
{{CentrujWzór|<MATH>{{du^0}\over{ds^2}}+{\Gamma^0}_{00}=0</MATH>|6.14}}
Mnożymy równanie {{LinkWzór|6.14}} obustronnie przez m{{Sub|0}}c i wykorzystując definicję czterowektora pędu {{LinkWzór|1.8|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} poprzez czterowektor prędkości, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dp^0}\over{ds^2}}=-{\Gamma^0}_{00}m_0 c</MATH>|6.15}}
Następnie wyrażamy czteropęd cząstki, o zerowej współrzędnej kontrawariantnej względem jej energii, i korzystając że tensor kowariantny jest równy tensorowi kontrwariantnemu, bo zachodzi dla słabych pól grawitacyjnych (pól Newtonowskich):
{{CentrujWzór|<MATH>p^0=p_0g^{00}={{p_0}\over{1+{{2\varphi}\over{c^2}}}}\simeq p_0\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\simeq p_0={{E}\over{c}}\Rightarrow p^0\simeq {{E}\over{c}}</MATH>|6.16}}
Mając  definicję tensora pędu o zerowej współrzędnej kontrawariantnej czterowektora pędu poprzez energii cząstki {{LinkWzór|6.16}}, która ta tożsamość zachodzi w przybliżeniu, podstawiamy go do równania {{LinkWzór|6.15}} i mnożąc jednocześnie go przez prędkość światła "c", otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dE}\over{ds}}=-{\Gamma^0}_{00}m_0 c^2</MATH>|6.17}}
Dla płaskiej przestrzeni dla prędkości  nierelatywistycznych, zachodzi ds=cdt w przybliżeniu na podstawie definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|6.2}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dE}\over{dt}}=-{\Gamma^0}_{00}m_0 c^3</MATH>|6.18}}
Podstawiając w równaniu {{LinkWzór|6.18}} za element tensora Christoffela {{LinkWzór|6.13}} i w rezultacie otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dE}\over{dt}}=-{{1}\over{c^3}}{{\partial \varphi}\over{\partial dt}} m_0 c^3</MATH>|6.19}}
Dokonując pewnych przekształceń w równaniu {{LinkWzór|6.19}} uniezależniamy się od prędkości światła w prawej stronie wspomnianego wcześniej równania, czyli po pewnych skróceniach dostajemy tożsamość:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dE}\over{dt}}=-m_0{{\partial\varphi}\over{\partial t}}</MATH>|6.20}}
Powyższe równanie mówi, o ile pole grawitacyjne (wielkość skalarnego potencjału słabego pola grawitacyjnego) nie zależy od czasu, to energia całkowita (mechaniczna) cząstki jest zachowana.

Następnym naszym krokiem jest policzenie następnych elementów o wskaźniku dolnych niezerowych, która jest jednym ze składowych tensora Chrostoffela, tzn. dla  0&ne;&mu;=i, przy czym należy pamiętać, że metryka dla słabego pola grawitacyjnego jest taka, w której występują tylko diagonalne elementy tensora metrycznego, a więc:
{{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^i}_{00}={{1}\over{2}}g^{ij}(g_{j0,0}+g_{0j,0}-g_{00,j})=-{{1}\over{2}}g^{ij}g_{00,j}
\Rightarrow{\Gamma^i}_{00}=-{{1}\over{2}}\left(-1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}{{2}\over{c^2}}\varphi_{,j}\delta^{ij}={{1}\over{c^2}}\varphi_{,j}\delta^{ij}</MATH>|6.21}}
Poniżej mamy równanie na linie geodezyjne po którym poruszało się ciało, czyli korzystając z równania tensorowego {{LinkWzór|6.6}} dla wskaźników dolnych przestrzennych tensora Christoffela:
{{CentrujWzór|<MATH>{{du^i}\over{ds}}=-{\Gamma^i}_{00}</MATH>|6.22}}
Równość {{LinkWzór|6.22}}, z definicji czterowektora pędu dla współrzędnych przestrzennych {{LinkWzór|1.8|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} zdefiniowanych poprzez czterowektor prędkości, zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dp^i}\over{ds}}=-{\Gamma^i}_{00}m_0 c</MATH>|6.23}}
Dla prędkości nierelatywistycznych oczywiste jest, że w przybliżeniu mamy dla słabego pola grawitacyjnego, że ds&asymp;c dt, jednocześnie możemy pomnożyć obustronnie  równanie {{LinkWzór|6.23}} przez prędkość światła w próżni "c":
{{CentrujWzór|<MATH>{{dp^i}\over{dt}}=-{\Gamma^i}_{00}m_0 c^2</MATH>|6.24}}
Podstawiając do {{LinkWzór|6.24}} policzony tensor &Gamma;{{Sup|i}}{{Sub|00}} {{LinkWzór|6.21}}, wtedy otrzymujemy równanie ruchu w zależne od rozkładu potencjału skalarnego pola grawitacyjnego w przestrzeni.
{{CentrujWzór|<MATH>{{dp^i}\over{dt}}=-{{1}\over{c^2}}\varphi_{,j}\delta^{ij}m_0 c^2</MATH>|6.25}}
Po pewnych skróceniach w równaniu {{LinkWzór|6.25}} likwiduje się zależność od prędkości światła z prawej stronie wspomnianego równanie, wtedy to nasze równanie ruchu cząstki przyjmuje kształt:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dp^i}\over{dt}}=-m_0\varphi_{,j}\delta^{ij}</MATH>|6.26}}
Jeśli oznaczymy jako energię potencjalną cząstki przez oznaczenie zależne od jej potencjału grawitacyjnego i jej masy spoczynkowej, czyli od energii potencjalnej ciała o masie m{{Sub|0}}, czyli: E{{Sub|p}}=&phi; m{{Sub|0}}, to z własności pochodnej cząstkowej, można zapisać prawą stronę {{LinkWzór|6.26}} bez minusa:
{{CentrujWzór|<MATH>m_0\varphi_{,j}=(m_0\varphi)_{,j}={{\partial E_p}\over{\partial x^j}}</MATH>|6.27}}
To mamy równanie ruchu, które jest zależne od gradientu energii potencjalnej, które opisuje ruch naszego ciała w potencjalnym skalarnym polu grawitacyjnym, wtedy równanie {{LinkWzór|6.26}} przy zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|6.27}} zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dp^i}\over{dt}}=-{{\partial E_p}\over{\partial x^j}}\delta^{ij}</MATH>|6.28}}
Widzimy, że jest to pewna forma równania ruchu cząstki w zależności współrzędnej pędu i rozkładu pola grawitacyjnego. Lewa strona jest równaniem Newtona, a prawa jest siłą pola grawitacyjnego w danym punkcie przestrzeni trójwymiarowej.
Przy czym należy pamiętać że składowe kowariantne i kontrkowariantne w metryce euklidesowej są nierozróżnialne, bo g{{Sub|ij}}&asymp; 1&delta;{{Sub|ij}}, dla słabych pól grawitacyjnych.
Wstawiając za definicja gradientu, to powyższe równanie ruchu można przedstawić w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=-\operatorname{grad}E_p</MATH>|6.29}}
Dla naszych rozważanych prędkości, pęd cząstki można opisać wzorem dla przypadku nierelatywistycznego p{{Sup|i}}=m{{Sub|0}} v{{Sup|i}}, a także jego przyspieszenie {{Formuła|<MATH>\vec{a}={{d\vec{v}}\over{dt}}\;</MATH>}}, ostatecznie otrzymujemy najprostszą postać równania ruchu cząstki w polu potencjalnym sił grawitacyjnych.
{{CentrujWzór|<MATH>m_0\vec{a}=-\operatorname{grad}E_p</MATH>|6.30}}
Powyższe równanie można przedstawić jako dwa równania, pierwsze jako druga zasada dynamiki Newtona, a drugie opisujące siły grawitacyjne w polu skalarnym sił grawitacyjnych poprzez potencjał grawitacyjny &phi;:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m_0\vec{a}</MATH>|6.31}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\operatorname{grad}E_p=-m_0\operatorname{grad}\varphi</MATH>|6.32}}}}
Udowodniliśmy, że dla ogólnej teorii względności dla słabych pól grawitacyjnych, dla prędkości nierelatywistycznych ogólna teoria względności sprowadza się do drugiego prawa Newtona i teorii grawitacji Newtona.

=== Zachowawczy charakter wielkości fizycznych ===
Skorzystajmy z równania na linie geodezyjne w pewnej czasoprzestrzeni i równocześnie na równanie ruchu cząstki masowej {{LinkWzór|1.82a|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} mnożąc to równanie przez wyrażenie (m{{Sub|0}}c){{Sup|2}} i po z korzystaniu z definicji czterowektora pędu {{LinkWzór|1.8|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, wtedy dostajemy równość tensorową:
{{CentrujWzór|<MATH>m_0c{{dp_{\alpha}}\over{ds}}-{\Gamma^{\gamma}}_{\alpha\beta}p^{\beta}p_{\gamma}=m_0c K_{\alpha}\;</MATH>|6.33}}
Zajmijmy się odjemnikiem występującej w równaniu na linię geodezyjne zapisanej za pomocą czterowektora pędu w powstałym równaniu {{LinkWzór|6.33}} przekształcając ten wyraz:
{{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^{\gamma}}_{\alpha\beta}p^{\beta}p_{\gamma}=
{{1}\over{2}}g^{\gamma\mu}(g_{\alpha\mu,\beta}+g_{\beta\mu,\alpha}-g_{\alpha\beta,\mu})p^{\beta}p_{\gamma}=
{{1}\over{2}}(g_{\alpha\mu,\beta}+g_{\beta\mu,\alpha}-g_{\alpha\beta,\mu})p^{\beta}p^{\mu}={{1}\over{2}}\left(g_{\alpha\mu,\beta}p^{\beta}p^{\mu}+g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}-g_{\alpha\beta,\mu}p^{\beta}p^{\mu}\right)=</MATH>{{Br}}
<MATH>=
{{1}\over{2}}\left(
g_{\alpha\beta,\mu}p^{\mu}p^{\beta}+g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}-g_{\alpha\beta,\mu}p^{\beta}p^{\mu}
\right)={{1}\over{2}}g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}</MATH>|6.34}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|6.34}} dla drugiego wyrazu występującego w równaniu tensorowym {{LinkWzór|6.33}}, wtedy równanie na linie geodezyjne zapisujemy przy pomocy czteropędu i pewnej pochodnej cząstkowej elementu tensora metrycznego:
{{CentrujWzór|<MATH>m_0c{{dp_{\alpha}}\over{d s}}-{{1}\over{2}}g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}=m_0cK_{\alpha}</MATH>|6.35}}
Stąd równanie {{LinkWzór|6.35}} można zapisać w innej równoważnej postaci  przenosząc drugi wyraz w rozważanym równaniu na jego prawą stronę:
{{CentrujWzór|<MATH>m_0c{{dp_{\alpha}}\over{d s}}={{1}\over{2}}g_{\beta\mu,\alpha}p^{\beta}p^{\mu}+m_0c K_{\alpha}</MAth>|6.36}}
Można stąd wywnioskować wedle równania {{LinkWzór|6.36}}, że jeśli jakieś elementy tensora metrycznego dla ciała poruszającego się wzdłuż jakieś ściśle określonej trajektorii nie zależą od jakieś współrzędnej x{{Sup|&alpha;}}, wtedy wielkość p{{Sub|&alpha;}}=m{{Sub|0}}cu{{Sub|&alpha;}} pozostaje stały wzdłuż tej trajektorii cząstki dla współrzędnej &alpha;.

=== Całkowita energia cząstki w polu grawitacyjnym ===
Z wykładu ogólnej teorii względności, w której występuje wzór {{LinkWzór|1.11|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}  z definicji metryki dla słabego pola grawitacyjnego {{LinkWzór|5.65|Słabe_pola_grawitacyjne}} wiedząc, że elementy tego tensora nie zależą od czasu, bo mamy doczynienia z polem stacjonarnym. Wedle równania {{LinkWzór|6.36}} kowariantny pęd  o współczynniku zerowym dla masowej cząstki  jest stały względem zmiany interwału czasoprzestrzennego, a dla słabych pól grawitacyjnych jest stały względem czasu, co możemy napisać tą równość sposobem:
{{CentrujWzór|<MATH>m_0^2c^2=p_{\mu}p^{\mu}=p^{\alpha}p^{\beta}g_{\alpha\beta}=
\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)(p^0)^2-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\left((p^x)^2+(p^y)^2+(p^z)^2\right)\;</MATH>|6.37}}
Jeśli oznaczymy że kwadrat całkowitego pęd cząstki jest równy sumie kwadratów pędu cząstki jej współrzędnych przestrzennych:
{{CentrujWzór|<MATH>(p^x)^2+(p^y)^2+(p^z)^2=p^2\;</MATH>|6.38}}
wtedy równanie {{LinkWzór|6.37}} na podstawie zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|6.38}} wyznaczając stąd wyraz z kwadratem współrzędnej zerowej czterowektora pędu, wtedy to nasze wspomniane wcześniej równanie przyjmuje postać:
{{CentrujWzór|<MATH>m_0^2c^2=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)(p^0)^2-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\;\Rightarrow \left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)(p^0)^2=m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\;</MATH>|6.39}}
Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|6.39}} przez zawsze niezerowe wyrażenie {{Formuła|<MATH>1+{{2\varphi}\over{c^2}}\;</MATH>}}, wtedy otrzymujemy równość, z którego możemy wyznaczyć kwadrat zerowej współrzędnej czterowektora pędu:
{{CentrujWzór|<MATH>(p^0)^2=\left(m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\right)\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)^{-1}\;</MATH>|6.40}}
Ponieważ mamy doczynienia z słabym polem grawitacyjnym, to powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>{{2\varphi}\over{c^2}}<<1\;</MATH>}}, to przyjmując na podstawie ostatniego przybliżenia równość {{LinkWzór|6.40}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>({p^0})^2=\left(m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\right)\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\Rightarrow(p^0)^2=m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2-{{2\varphi}\over{c^2}}\left(m_0^2c^2+\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)p^2\right)\;</MATH>|6.41}}
Możemy dokonać odpowiednich wymnożeń w równaniu {{LinkWzór|6.41}} po jego prawej stronie przy opuszczaniu nawiasu i biorąc w końcu wyrażenie m{{Sub|0}}{{Sup|2}}c{{Sup|2}} przed nawias, wtedy dostajemy równość na kwadrat czasowego elementu czterowektora pędu:
{{CentrujWzór|<MATH>(p^0)^2=m_0^2c^2\left(
1+{{p^2}\over{m_0^2c^2}}-{{2\varphi}\over{m_0^2c^4}}p^2-{{2\varphi}\over{c^2}}
-{{2\varphi}\over{m_0^2c^4}}p^2+{{4\varphi^2}\over{m_0^2c^6}}\right)\;</MATH>|6.42}}
Dokonując przybliżeń w powyższym równaniu, czyli wybierając wyrazy rzędu c{{Sup|0}} oraz rzędu c{{Sup|-2}}, a wyrazy o większym rzędzie pomijamy w prawej stronie równości {{LinkWzór|6.42}}, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>(p^0)^2\simeq m_0^2c^2\left(1+{{p^2}\over{m^2_0c^2}}-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|6.43}}
Policzmy samo {{Formuła|<MATH>p^0\;</MATH>}} względem równości {{LinkWzór|6.43}} zakładając, że p{{Sub|0}}&ge;0, czyli przyjmuje on wartość nieujemną, który jest element zerowym czterowektora pędu, a więc do dzieła:
{{CentrujWzór|<MATH>p^0=m_0c\sqrt{1+{{p^2}\over{m^2_0c^2}}-{{2\varphi}\over{c^2}}}\;</MATH>|6.44}}
Biorąc przybliżenie {{Formuła|<MATH>\sqrt{1+x}\simeq 1+{{1}\over{2}}x\;</MATH>}} w równaniu {{LinkWzór|6.44}}, wtedy po rozpisaniu pierwiastka w równaniu {{LinkWzór|6.44}}, wtedy ta nasza tożsamość przyjmuje wygląd:
{{CentrujWzór|<math>p^0=m_0c\left(1+{{p^2}\over{2m_0^2c^2}}-{{\varphi}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|6.45}}
Po zastosowaniu twierdzenia rozdzielności mnożenia względem dodawania {{LinkWzór|6.45}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>p^0=m_0c+{{p^2}\over{2mc}}-m_0{{\varphi}\over{c}}\;</MATH>|6.46}}
Obniżmy wskaźnik przy p{{Sup|0}} w równaniu {{LinkWzór|6.46}}, czyli będziemy mówić o kontrawariantności zerowej współrzędnej, przy której przejdźmy do kowariantności zerowej współrzędnej czterowektora pędu, oraz korzystając z tego, że macierz tensora metrycznego dla słabych pól grawitacyjnych jest diagonalna, a więc to przejście można dokonać w sposób bardzo łatwy, tzn. tylko wymnażając p{{Sup|0}} przez element tensora metrycznego prostego g{{Sub|00}} w metryce słabego pola grawitacyjnego.
{{CentrujWzór|<MATH>p_0=p^{\alpha}g_{\alpha 0}=\left(m_0c+{{p^2}\over{2mc}}-m_0{{\varphi}\over{c}}\right)\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\Rightarrow p_0=m_0c+{{p^2}\over{2mc}}-m_0{{\varphi}\over{c}}+\left(m_0c+{{p^2}\over{2mc}}-m_0{{\varphi}\over{c}}\right){{\varphi}\over{c^2}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}
<MATH>\Rightarrow p_0=m_0c+{{p^2}\over{2m_0c}}-m_0{{\varphi}\over{c}}+m_0{{2\varphi}\over{c}}+{{p^2}\over{2mc}}{{2\varphi}\over{c^2}}-m_0{{2\varphi^2}\over{c^3}}\;</MATH>|6.47}}
Dokonując odpowiednich przybliżeń, czyli wybierając wyrazy nie wyższe niż rzędu c{{Sup|-1}}  w ostatnim równaniu wynikowym {{LinkWzór|6.47}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>p_0=m_0c+{{p^2}\over{2m_0c}}+m_0{{\varphi}\over{c}}\;</MATH>|6.48}}
Równanie {{LinkWzór|6.48}} wymnażamy przez prędkość światła c i zastosowaniu definicji energii cząstki poprzez iloczyn pęd kowariantnego wymnożonej przez prędkość światła {{Formuła|<MATH>p_0={{E}\over{c}}\;</MATH>}}.
{{CentrujWzór|<MATH>E=m_0c^2+m_0\varphi+{{p^2}\over{2m_0}}\;</MATH>|6.49}}

Widzimy, że wielkość podana z prawej strony składa się z energii spoczynkowej, energii potencjalnej w polu grawitacyjnym oraz energii kinetycznej znanej z mechaniki klasycznej.

== Elementy czterowektora pędu w układach kulistym i walcowym układu współrzędnych ==
Zapoznamy się tutaj ze współrzędnymi kulistymi i walcowymi, w których napiszemy z definicji pędu kontrawariantnego {{LinkWzór|1.8|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} jako funkcję ich mas relatywistycznych i odpowiednich pochodnych czasowych.

=== Współrzędne kuliste ===
Możemy wykorzystać definicję momentów pędu {{LinkWzór|1.8|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, ale weźmy go dla współrzędnych kontrawariantnych, dla współrzędnych kowariantnych pędu można je otrzymać ze współrzędnych kontrawariantnych przez proste własności tensora metrycznego przyjmując, że różniczka interwału czasoprzestrzennego wynikającego z metryki Minkowskiego {{LinkWzór|1.6|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} jest:
{{CentrujWzór|<MaTh>ds=\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}cdt=\gamma^{-1}cdt\;</MATH>|6.50}}
Wtedy  pęd kontrawariantny radialny możemy przedstawić poprzez pochodną radialną względem czasu i też jest zależna od masy relatywistycznej, co można udowodnić z definicji czterowektora pędu:
{{CentrujWzór|<MATH>p^r=m_0c{{dr}\over{ds}}=m_0c{{dr}\over{\gamma^{-1} cdt}}=m_0\gamma{{dr}\over{dt}}=m\dot{r}\;</MaTH>|6.51}}
Pęd kontrawariantny &theta;-owy jest równy funkcji zależnej od masy relatywistycznej i pochodnej zupełnej kąta &theta;-owego względem czasu, co można udowodnić z definicji czterowektora pędu:
{{CentrujWzór|<MATH>p^{\theta}=m_0c{{d\theta}\over{ds}}=m_0c{{d\theta}\over{\gamma^{-1}cdt}}=m_0\gamma\dot{\theta}=m\dot{\theta}\;</math>|6.52}}
Pęd kontrkowariantny &psi;-owy jest równy funkcji zależnej od masy relatywistycznej i pochodnej kąta &phi;-owego względem czasu, co można udowodnić z definicji czterowektora pędu:
{{CentrujWzór|<MATH>p^{\phi}=m_0c{{d\phi}\over{ds}}=m_0\gamma\dot{\phi}=m\dot{\phi}\;</Math>|6.53}}
Końcowe wzory dla poszczególnych pędów kontrawariantnych {{LinkWzór|6.50}}, {{LinkWzór|6.51}} i {{LinkWzór|6.52}} są słuszne tylko dla szczególnej teorii względności, ale te końcowe wzory możemy uogólnić na przypadek innej dowolnej metryki i dla fotonów (cząstek o zerowej masie spoczynkowej), którą wyliczymy z ogólnej teorii względności.

=== Współrzędne walcowe i radialne ===
Podobnie jak poprzednio definicję kontrawariantnego pędu, ale tym razem dla współrzędnych walcowych, podobnie przyjmujemy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p^r=m\dot{r}\;</MATH>|6.54}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p^{\theta}=m\dot{\theta}\;</MatH>|6.55}}|3={{CentrujWzór|<MATH>p^z=m\dot{z}\;</math>|6.56}}}}
Oczywiste jest ze wzory {{LinkWzór|6.54}}, {{LinkWzór|6.55}} i {{LinkWzór|6.56}} możemy uogólnić na przypadek dowolnej metryki wyliczonej z równania grawitacji Einsteina {{LinkWzór|1.51|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} lub {{LinkWzór|1.58|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, a także dla fotonów, czyli cząstek o zerowej masie spoczynkowej.
Wzory dla współrzędnych radialnych wyglądają tak samo jak dla współrzędnych walcowych, tylko nie ma tutaj współrzędnej zetowej kontrawariantnego czteropędu, bo ten układ współrzędnych jest przedstawieniem położeń za pomocą współrzędnych (r,&theta;) na płaszczyźnie.

== Kowariantny pęd &theta;-owy i &phi;-owy a współrzędne klasycznego momentu pędu ==
Rozpatrzmy słabe pole grawitacyjne według metryki Newtona {{LinkWzór|5.65|Słabe_pola_grawitacyjne}}, widzimy, że na podstawie definicji potencjału grawitacyjnego {{LinkWzór|5.65|Słabe_pola_grawitacyjne}} znanego z teorii grawitacji Newtona, że jeśli tensory metryczne nie zależą od zmiennych kątowych, to pędy kowariantne względem tychże wielkości kątowych są wielkościami niezależnymi od kątów w metryce słabego pola grawitacyjnego, metrykę {{LinkWzór|5.65|Słabe pola grawitacyjne}} w zmiennych kulistych możemy zapisać:
{{CentrujWzór|<MATH>ds^2=\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)c^2dt^2-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)\left(dr^2+r^2\sin^2\phi d\theta^2+r^2d\phi^2\right)\;</MATH>|6.57}}
Co po odpowiednich wymnożeniach w {{LinkWzór|6.50}}, wydzielając odpowiednie elementy diagonalne tensora metrycznego, mamy:
{{CentrujWzór|<Math>ds^2=\underbrace{\left(1+{{2\varphi}\over{c^2}}\right)}_{g_{tt}}c^2dt^2\underbrace{-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)}_{g_{rr}}dr^2\underbrace{-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)r^2\sin^2\phi}_{g_{\theta\theta}} d\theta^2\underbrace{-\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)r^2}_{g_{\phi\phi}}d\phi^2\;</Math>|6.58}}
Pędy kowariantne wedle metryki słabego pola grawitacyjnego we współrzędnych kulistych {{LinkWzór|6.51}} są zdefiniowane jako wielkości stałe, o ile tensor metryczny nie zależy od zmiennej x{{Sup|&theta;}}, wtedy ta wielkość bardzo przypomina  &theta;-owy moment pędu znanej z mechaniki klasycznej Newtona:
{{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta}=p^{\theta}g_{\theta\theta}=-m{{d\theta}\over{dt}}\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)r^2\sin^2\phi\simeq-(r\sin\phi) [mr\sin(\phi)\dot{\theta}]=-r_{\theta}mv_{\theta}=L_{\theta}\;</MaTH>|6.59}}
Kowariantny pęd jak udowodnimy jest wielkością stałą względem zmiennej o wskaźniku dolnym &phi;, bo tensor metryczny prosty nie zależy od zmiennej położeniu o tym wskaźniku, wtedy ta wielkość bardzo przypomina  &phi;-owy moment pędu znanej z mechaniki klasycznej Newtona:
{{CentrujWzór|<MATH>p_{\phi}=p^{\phi}g_{\phi\phi}=-m{{d\phi}\over{dt}}\left(1-{{2\varphi}\over{c^2}}\right)r^2\simeq -m{{d\phi}\over{dt}}r^2=-r mr{{d\phi}\over{dt}}=-r mv_{\phi}=L_{\phi}\;</MATH>|6.60}}
Widzimy na podstawie {{LinkWzór|6.59}} (pęd kowariantny &theta;-owy) i {{LinkWzór|6.60}} (pęd kowariantny &psi;-owy) są w przybliżeniu równe współrzędnym odpowiednio momentowi pędu &theta;-owego lub &phi;-owego dla metryki słabego pola grawitacyjnego, ale także również dla innych metryk, które w granicy słabego pola grawitacyjnego przechodzą w metrykę Minkowskiego.

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>