Tekst źródłowy strony Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Tutaj tylko podamy wstęp do teorii operatorów liniowych, które są bardzo potrzebne w analizie funkcjonalnej, ale najpierw zapoznamy się z definicją iloczynu skalarnego, ten obiekt powinien spełniać własności :
{{CentrujWzór|<MATH>(f,f)\geq 0\;</MATH>|15.1}}
Wzór {{LinkWzór|15.1}} mówi nam, jakie warunki powinien spełniać iloczyn skalarny dwóch funkcji skalarnych lub wektorowych ale ogólnie zespolonych, jeśli ten iloczyn jest równy zero, to możemy dojść do wniosku, że funkcja f jest równa zero.
Następnym bardzo ważnym postulatem jest, że zamienienie dwóch funkcji miejscami w iloczynie skalarnym, to ten nowy wynik jest sprzężonym zespolono z starym wynikiem przed przestawieniem, w takim przypadku drugi postulat:
{{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\overline{(g,f)}\;</MATH>|15.2}}
Ostatnim warunkiem jest liniowość, że względu na drugi czynnik w tymże obiekcie, co  zapisujemy jako:
{{CentrujWzór|<MATH>(f,ag+bh)=(a(f,g)+b(f,h)\;</MATH>|15.3}}
Jeśli zastosujemy wzór na liniowość drugiego czynnika {{LinkWzór|15.3}} i postulat {{LinkWzór|15.2}}, wtedy dostajemy, że istnieje anty-liniowość ze względu na pierwszy czynnik, co obrazujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>(af+bh,g)=\overline{a}(f,g)+\overline{b}(h,g)\;</MATH>|15.4}}
Gdy mamy iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni kartezjańskiej, to definicja takiego iloczynu jest napisana przez definicję poszczególnych składowych:
{{CentrujWzór|<MATH>(A,B)=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\;</MATH>|15.5}}
W przestrzeni funkcyjnej często przyjmuje się jako definicję iloczynu skalarnego dla dwóch funkcji zapisanych w przestrzeni zespolonej:
{{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\int_a^b\overline{f(x)}g(x)dx\;</MATH>|15.6}}
Kwadrat normy wektora f zapisujemy wedle nastepującej definicji:
{{CentrujWzór|<MATH>||f||^2={(f,f)}\;</MATH>|15.7}}
Kwadrat definicji normy funkcji f {{LinkWzór|15.7}}, wynikającego z definicji iloczynu skalarnego {{LinkWzór|15.6}}, określamy dla przestrzeni jednowymiarowej i trójwymiarowej jako normę wektora:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>||f||^2=\int^a_b|f(x)|^2dx\;</MATH>|15.8}}|2={{CentrujWzór|<MATH>||f||^2=\int_{R^3}|f(\vec{r})|^2d^3\vec{r}\;</MATH>|15.9}}}}
Odległość dwóch funkcji f i g definiujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>d(f,g)=||f-g||\;</MATH>|15.10}}
Przestrzeń nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg pewnych funkcji ma granicę w tej omawianej przestrzeni, w której określamy daną funkcję.

== Iloczyn operatorowy ==
Iloczynem dwóch operatorów {{Formuła|<MATH>A\cdot Bw</MATH>}} nazywamy operację, której najpierw operator B działa na funkcję w, a potem w ten sposób otrzymanego obiektu wsadzamy do działania operatora A, co ten wynik zapisujmy:
{{CentrujWzór|<MATH>(AB)w=A(Bw)\;</MATH>|15.11}}
Jeśli n-ta potęga operatora  A działa na funkcję w, wtedy jego działanie jest w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>A^nw=A(A...(A(Aw))...)\;</MATH>|15.12}}

== Funkcja, w której argumentem jest pewien operator ==
Załóżmy, że mamy pewną funkcję, w której argumentem nie jest pewna liczba, tylko pewnego rodzaju operator. Przykładem takiej funkcji, w której występuje pewien  operator:
{{CentrujWzór|<MATH>f(\hat{A})={{1}\over{1-\hat{A}}}\;</MATH>|15.13}}
Ponieważ jest to funkcja gładka, możemy rozpatrzyć szereg Taylora
{{CentrujWzór|<MATH>f(\hat{A})=f(0)\hat{1}+f^{'}(0)\hat{A}+{{1}\over{2!}}f^{''}(0)\hat{A}^2+...\;</MATH>|15.14}}
Zbieżność szeregu {{LinkWzór|15.14}} nie jest automatyczna, aby był szeregiem zbieżnym należy określić normę naszego operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} należy napisać:
{{CentrujWzór|<MATH>||A||=\operatorname{sup}||\hat{A}f||\mbox{, gdy zachodzi }||f||=1\;</MATH>|15.15}}
Funkcję {{LinkWzór|15.14}} możemy liczyć wedle sposobu poniżej, tak się to dzieje, gdy dokonamy rozwinięcia funkcji f(x)=(1-x)<sup>-1</sup> w szereg Taylora i do tego operatora wstawiamy operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}}, zatem na podstawie tychże rozważań możemy powiedzieć:
{{CentrujWzór|<MATH>f(\hat{A})=(1-\hat{A})^{-1}=\hat{1}+\hat{A}+\hat{A}^2+\hat{A}^3+...\;</MATH>|15.16}}
A eksponens pewnego operatora liczymy podobnie jak w przykładzie {{LinkWzór|15.16}}, ale tym razem mamy do czynienia z funkcją, której jest eksonens, której to naszą funkcję e<sup>ax</sup> rozkładamy w szereg Tayllora, a później do niego podstawiamy operator {{Formuła|<MATH>a\hat{A}\;</MATH>}}, co możemy pisać:
{{CentrujWzór|<MATH>f(a\hat{A})=e^{a\hat{A}}=\hat{I}+a\hat{A}+{{1}\over{2!}}a^2\hat{A}^2+{ {1}\over{3!}}a^3\hat{A}^3+...\;</MATH>|15.17}}

== Wprowadzenie do teorii komutacji i antykomutacji dwóch operatorów ==
Ogólnie dwa operatory nie są przemiennymi operatorami, tzn. nie zachodzi w ogólności działanie {{Formuła|<MATH>\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}\;</MATH>}}, zatem wprowadźmy definicję komutatora, w których dla dwóch operatorów nazywamy definicję:
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\;</MATH>|15.18}}
Dla przykładu policzmy komutator określony dla dwóch operatorów, tzn. operatora mnożenia przez liczbę i operatora różniczkowania, którego obliczenia przeprowadzimy poniżej:
{{CentrujWzór|<MATH>\left[x,{{d}\over{dx}}\right]=x{{d}\over{dx}}-{{d}\over{dx}}(x)=x{{d}\over{dx}}-x{{d}\over{dx}}-\hat{1}=-\hat{1}\;</MATH>|15.19}}
Naszym następnym krokiem jest udowodnienie twierdzenia, której  przestawienie jest wedle poniższego wzoru:
{{CentrujWzór|<MATH>[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}\;</MATH>|15.20}}
Dowód tożsamości {{LinkWzór|15.20}}  przestawimy wedle toku obliczeń poniżej, z którego to udowodnimy, że wychodząc z prawej strony obliczeń wspomnianego wzoru przechodzimy do jego lewej strony:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{A}\hat{C}\hat{B}+\hat{A}\hat{C}\hat{B}-\hat{C}\hat{A}\hat{B}=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{C}\hat{A}\hat{B}=[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]\;</MATH>|15.21}}

== Definicja operatora sprzężonego ==
Operatorem sprzężonym {{Formuła|<MATH>\hat{A}^*\;</MATH>}} do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy taki operator, którego definicja jest przestawiana przy pomocy pewnych wektorów u i v, w takim razie:
{{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}u,v)=(u,\hat{A}^*v)\;</MATH>|15.22}}
Następnym krokiem bardzo znanym fizyce, gdy operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest pewną macierzą, a u i v są pewnego rodzaju wektorami pionowymi, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}u,v)=\sum_{i,j=1}^n\overline{A}_{ij}\hat{u}_iv_j=\sum_{i,j=1}^n\overline{u}_j\overline{A}^T_{ji}v_i=(u,\overline{A}^Tv)\;</MATH>|15.23}}
Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|15.23}} możemy napisać wniosek:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^*=\overline{\hat{A}}^T\;</MATH>|15.24}}

== Iloczyn operatora i pewnego parametru, a tego sprzężenie ==
Wykorzystując  definicję operatora sprzężonego {{LinkWzór|15.24}} możemy obliczyć wyrażenie {{Formuła|<MATH>(\lambda\hat{A}u,v)\;</MATH>}} dwoma różnymi sposobami, by potem można by je przyrównać łatwo:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>(\lambda\hat{A}u,v)=(u,(\lambda\hat{A})^*v)\;</MATH>|15.25}}|2={{CentrujWzór|<MATH>(\lambda\hat{A}u,v)=\overline{\lambda}(\hat{A}u,v)=\overline{\lambda}(u,\hat{A}v)=(u,\overline{\lambda}\hat{A}v)\;</math>|15.26}}}}
Możemy przyrównać oba powyższe wzory do siebie, bo one oznaczają to samo, stąd wniosek:
{{CentrujWzór|<MATH>(\lambda\hat{A})^*=\overline{\lambda}\hat{A}^*\;</MATH>|15.27}}

== Definicja operatora hermitowskiego, czyli operatora samo-sprzężonego ==
Operatorem samosprzężonym do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</math>}} nazywamy taki operator, który jest równy samemu opisywanemu operatorowi:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^*=\hat{A}\;</MATH>|15.28}}
Gdy dany operatorem jest zwykłą macierzą, to warunek {{LinkWzór|15.24}} piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{A}}^T=\hat{A}\;</MATH>|15.29}}

== Definicja operatora odwrotnego ==
Definicją operatora odwrotnego {{Formuła|<MATH>\hat{A}^{-1}\;</MATH>}} do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy taki operator spełniający warunek:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1}\hat{A}=\hat{I}\;</MATH>|15.30}}
Jeśli operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest zwykłą macierzą, to operator odwrotny tegoż operatora (tutaj macierzy) nazywamy macierzą odwrotną znaną z klasycznego kursu algebry.

== Definicja operatora unitarnego ==
Operatorem unitarnym {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy takim operatorem, który po prowadzeniu do iloczynu skalarnego nie zmienia długości norm, wtedy jego definicja jest:
{{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}w,\hat{A}v)=(w,v)\;</MATH>|15.31}}
Jeśli wykorzystamy definicję operatora sprzężonego unitarnego określona wedle wzoru  {{LinkWzór|15.22}}, wtedy wzór {{LinkWzór|15.31}} możemy zapisać:
{{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}w,\hat{A}\hat{v})=(w,\hat{A}^*\hat{A}v)\;</MATH>|15.32}}
Ze wzoru {{LinkWzór|15.31}} i {{LinkWzór|15.32}} wynika, że operator sprzężony od {{Formuła|<math>\hat{A}\;</MATH>}} jest równy operatorowi odwrotnemu, co przestawiamy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^*=\hat{A}^{-1}\;</MATH>|15.33}}

== Elementy macierzowe operatora ==
Załóżmy, że mamy bazę ortogonalną zdefiniowanej wedle określenia e<sub>i</sub>, w takim przypadku elementami macierzowymi operatora w naszej bazie nazywamy elementy:
{{CentrujWzór|<MATH>A_{ij}=(e_i,\hat{A}e_j)\;</MATH>|15.34}}
Transformacją wektorów bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego przy określeniu, przy definicji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{U}\;</MATH>}}, określamy jako:
{{CentrujWzór|<MATH>e_j^'=\sum_iU_{ij} e_i\Rightarrow B^'=\hat{U}^T\hat{B}\;</MATH>|15.35}}
A dowód unitarności operatora {{Formuła|<MATH>\hat{U}\;</MATH>}} przeprowadzamy w sposób :
{{CentrujWzór|<MATH>I=(B^',B^')=(\hat{U}^TB,\hat{U}^TB)=(B,(\hat{U}^*)^T\hat{U}^TB)\;</MATH>|15.36}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|15.36}} możemy napisać, że operator sprzężony, który mówi coś o przejściu z jednego układu do drugiego jest równy operatorowi odwrotnemu do {{Formuła|<MATH>\hat{U}\;</MATH>}}, co  zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{U}^*=\hat{U}^{-1}\;</MATH>|15.37}}
Określmy elementy macierzowe operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} w nowej bazie względem elementów tego samego operatora w starej bazie:
{{CentrujWzór|<math>A_{mn}^'=(e_m^',\hat{A}e_n^')=\sum_{i,j}\overline{U}_{im}U_{jn}(e_i,\hat{A}e_j)=\sum_{i,j}\overline{U}_{im}U_{jn}A_{ij}=\sum_{i,j}\overline{U}_{mi}^TU_{jm}A_{ij}\;</MATH>|15.38}}
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|15.38}} możemy powiedzieć, że transformacja operatora z jednego układu współrzędnych do drugiego i po jego odwróceniu, określamy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^'=\hat{U}^+\hat{A}\hat{U}\;</MATH>|15.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}=\hat{U}\hat{A}^'\hat{U}^{-1}\;</MATH>|15.40}}}}

== Definicja śladu operatora ==
Śladem operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy taką liczbą, która jest sumą jego elementów diagonalnych elementów macierzowych operatora:
{{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Tr}\hat{A}=\sum_i\hat{A}_{ii}\;</MATH>|15.41}}
Wykażemy, że ślad operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest niezmienny od wyboru bazy, w której liczymy elementy macierzowe naszego operatora,  możemy to stwierdzenie udowodnić:
{{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Tr}\hat{A}^'=\sum_{m}A^'_{mm}=\sum_{i}\overline{U}^T_{ij}A_{jk}U_{ki}=\sum_{i}U_{ki}\overline{U}^{T}_{ij}A_{jk}=\sum_i\delta_{kj}A_{jk}=\sum_jA_{jj}=\operatorname{Tr}\hat{A}\;</MATH>|15.42}}

== Równanie własne, wektory i wartości własne operatora ==
Równaniem własnym operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} przy oznaczeniach dla wartości własnych &lambda; i wektorów własnych u nazywamy obiekt:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}u=\lambda u\;</MATH>|15.43}}

== Operatory hermitowskie w zagadnieniu własnym ==
*Wartości własne operatora hermitowskiego mając wartości własne rzeczywiste, co możemy udowodnić pisząc dowód tej własności wedle sposobu:
{{CentrujWzór|<MATH>\lambda=(u,\lambda u)=(u,\hat{A}u)=(\hat{A}^*u,u)=(\hat{A}u,u)=(\lambda u,u)=\overline{\lambda}\;</MATH>|15.44}}
Wedle dowodu przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|15.44}} udowodniliśmy tezę naszego twierdzenia.
*Wektory własne są do siebie ortogonalne równania własnego {{LinkWzór|15.44}} dla operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}}, wtedy napiszmy dwa równania własne dla różnych wartości własnych naszego tutaj rozważanego operatora.
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}u_1=\lambda_1u\;</MATH>|15.45}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}u_2=\lambda_2u\;</MATH>|15.46}}}}
Równanie {{LinkWzór|15.41}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>u_2^*\;</MATH>}} lewostronnie, a zaś równanie {{LinkWzór|15.42}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>u_1\;</MATH>}} prawostronnie, w takim razie te operacje zapisujemy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>(u_2,\hat{A}u_1)=\lambda_1(u_2,u_1)\;</MATH>|15.47}}|2={{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}u_2,u_1)=\lambda_2(u_2,u_1)\;</MATH>|15.48}}}}
Ponieważ operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest operatorem hermitowskim, i korzystając  własności {{LinkWzór|15.22}} możemy powiedzieć, że lewe strony równań {{LinkWzór|15.47}} i {{LinkWzór|15.48}} są sobie równe, wtedy możemy odejmując oba te równania od siebie:
{{CentrujWzór|<MATH>0=(u_2,u_1)(\lambda_1-\lambda_2)\;</MATH>|15.49}}
Dla różnych wartości własnych równania własnego {{LinkWzór|15.43}} możemy powiedzieć:
{{CentrujWzór|<MATH>(u_2,u_1)=0\;</MATH>|15.50}}

Warunek {{LinkWzór|15.50}} wskazuje, że wektory własne równania {{LinkWzór|15.43}} są do siebie ortogonalne.

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>