Tekst źródłowy strony Mechanika kwantowa/Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Wiadomo jednak, że gęstość prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej klasycznej zdefiniowana jest jako moduł kwadratu funkcji falowej opisywanej dany stan kwantowy:
{{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{r},t)=|\psi|^2=\psi^{*}\psi\;</MATH>|13.1}}
Korzystając przy tym z równań {{LinkWzór|10.44|Postulat_czwarty_mechaniki_kwantowej}} (równania zależnego od czasu równania Schrödingera) i {{LinkWzór|10.45|Postulat_czwarty_mechaniki_kwantowej}} (sprzężonego po zespolonemu do równania Schrödingera), to pochodna cząstkowa gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|13.1}} względem czasu:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho(\vec{r},t)}\over{\partial t}}={{\partial \psi^*\psi}\over{\partial t}}=\psi^{*}{{\partial \psi}\over{\partial t}}+\psi{{\partial \psi^{*}}\over{\partial t}}=\psi^{*}{{\hat{H}\psi}\over{i\hbar}}-\psi{{\hat{H}^*\psi^{*}}\over{i\hbar}}=
{{1}\over{i\hbar}}\left\{\psi^{*}\hat{H}\psi-\psi\hat{H}^*\psi^{*}\right\}\;</MATH>|13.2}}
Operator energii całkowitej cząstki z uwzględnieniem potencjału wektorowego w elektrodynamice klasycznej przedstawia się według wzoru {{LinkWzór|5.31|Postulat_pierwszy_mechaniki_kwantowej}}, przy wykorzystaniu równania {{LinkWzór|13.2}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho(\vec{r},t)}\over{\partial t}}={{1}\over{i\hbar}}\left\{
\psi^{*}\left[{{\left(-i\hbar\nabla-q\vec{A}\right)^2}\over{2m}}+q\phi\right]\psi-
\psi\left[{{\left(-i\hbar\nabla-q\vec{A}\right)^2}\over{2m}}+q\phi\right]^*\psi^{*}
\right\}=</MATH>{{Br}}
<MATH>={{1}\over{2mi\hbar}}\left\{\psi^*\left[-i\hbar\nabla-q\vec{A}\right]^2\psi-\psi{\left[-i\hbar\nabla-q\vec{A}\right]^2}^*\psi^*\right\}={{1}\over{2mi\hbar}}\Bigg\{
\psi^*\left[-\hbar^2\nabla^2+q^2\vec{A}^2+i\hbar q\nabla\vec{A}\cdot+i\hbar q\vec{A}\nabla\right]\psi+</MATH>{{Br}}<MATH>-\psi\left[-\hbar^2\nabla^2+q^2\vec{A}^2+i\hbar q\nabla\vec{A}\cdot+i\hbar q\vec{A}\nabla\right]^*\psi^*
\Bigg\}={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi\nabla^2\psi^*-\psi^*\nabla^2\psi\right]+
{{q}\over{2m}}\big[\psi^*\nabla\vec{A}\psi+\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\nabla\vec{A}\psi^*+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\psi\vec{A}\nabla\psi^*\big]={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi\nabla^2\psi^*-\psi^*\nabla^2\psi\right]+
{{q}\over{2m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi^*\left(\nabla\vec{A}\right)\psi+\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\vec{A}\nabla\psi^*+\psi\left(\nabla\vec{A}\right)\psi^*+\psi\vec{A}\nabla\psi^*
\right]=\;</MATH>{{Br}}
<MATH>={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi\nabla^2\psi^*-\psi^*\nabla^2\psi\right]+
{{q}\over{m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\left(\nabla\vec{A}\right)\psi^*+\psi\vec{A}\nabla\psi^*\right]\;</MATH>|13.3}}
Na podstawie {{LinkWzór|13.3}} udowodniliśmy złożoną tożsamość, która mamy zamiar uprościć.
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho(\vec{r},t)}\over{\partial t}}+{{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi^*\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^*\right]-
{{q}\over{m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\left(\nabla\vec{A}\right)\psi^*+\psi\vec{A}\nabla\psi^*\right]=0\;</MATH>|13.4}}
Zdefiniujmy wyrażenie, które nazwiemy gęstością prądu prawdopodobieństwa i zapiszemy je przy pomocy potencjału wektorowego magnetycznego i funkcji falowej opisującej cząstkę:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{j}={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right]-{{q}\over{m}}\vec{A}\psi^*\psi\;</MATH>|13.5|Obramuj}}
Wyznaczmy dywergencję wielkości zdefiniowanej w {{LinkWzór|13.5}}, czyli gęstości prądu prawdopodobieństwa {{Formuła|<MaTH>\vec{j}\;</math>}}: 
{{CentrujWzór|<MATH>\nabla \vec{j}={{\hbar}\over{2mi}}\left[\nabla\psi^*\nabla\psi+\psi^*\nabla^2\psi-\nabla\psi\nabla\psi^*-\psi\nabla^2\psi^*\right]-{{q}\over{m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\vec{A}\nabla\psi^*+\psi^*(\nabla\vec{A})\psi\right]=\;</MATH>{{Br}}
<MATH>={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi^*\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^*\right]-{{q}\over{m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\vec {A}\nabla\psi^*+\psi^*(\nabla\vec{A})\psi\right]\;</MATH>|13.6}}
Drugi i trzeci składnik razem wzięte w {{LinkWzór|13.4}} są identyczne jak dywergencja gęstości prądu prawdopodobieństwa  {{LinkWzór|13.6}}, zatem wyrażenie {{LinkWzór|13.4}} piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \rho(\vec{r},t)}\over{\partial t}}+\nabla\vec{j}=0\;</MATH>|13.7|Obramuj}}
Równanie {{LinkWzór|13.7}} jest równaniem ciągłości znane z mechaniki kwantowej klasycznej z gęstością prawdopodobieństwa zdefiniowanego w {{LinkWzór|13.1}} i gęstością prądu zdefiniowaną w {{LinkWzór|13.5}}. 

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>