Tekst źródłowy strony Mechanika kwantowa/Formalizm matematyczny mechaniki kwantowej/Przestrzeń funkcji falowych

==Przestrzeń funkcji falowych==

Spróbujmy wywnioskować jakie własności musi posiadać przestrzeń w której opisuje się funkcje falową.
W mechanice kwantowej stosuje się najczęściej notacje wektora w postaci <math>|\psi\rangle</math> :


<math>|\psi\rangle \equiv \vec{\psi}</math>


Spróbujmy znaleźć własności przestrzeni w której jest opisana funkcja falowa. Jednym z podstawowych aksjomatów jest to, że funkcja falowa jest zespolona:


<math>\psi(\vec{r},t) \in \mathbb{C}</math>


Co prowadzi do wymogu, by przestrzeń w której funkcja falowa jest opisywana była nad ciałem liczb zespolonych <math>\mathbb{C}</math>


Zasada superpozycji wymaga by funkcja falowa była liniowa (suma dwóch funkcji falowych jest także funkcją falową). Więc przestrzeń w której opisywane są funkcje falowe również musi być liniowa. Z poprzednim warunkiem <math>\psi(\vec{r},t) \in \mathbb{C}</math> można wysunąć konkluzje, że tą przestrzenią jest przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb zespolonych:


<math>( V, C, \oplus, \otimes )</math>


Oczywiście operacje <math>\oplus</math> i <math>\otimes</math> muszą spełniać aksjomaty zgodności przestrzeni wektorowej.


Z warunku normalizacji otrzymujemy zasadę, że norma funkcji falowej musi być równa 1. Wynika z tego, że przestrzeń musi być unitarna (wymóg istnienia iloczynu skalarnego i normy jest spowodowany wymogiem całkowalności w kwadracie funkcji falowej i poprawnej normalizacji).


Żeby móc przedstawić superpozycje w danej przestrzeni wektorowej dana przestrzeń musi być nie-ortogonalna. Nie-ortogonalność przestrzeni jest wymgiem zasady superpozycji.


Z rozważań fizycznych można też zapostulować, że przestrzeń w której opisuje się funkcje falową musi być zupełna. Wynika to z następującego rozumowania:


Załóżmy, że posiadamy ciąg stanów kwantowych będących ciągiem Cauchyego w której opisana jest funkcja falowa. Jeżeli będziemy zmieniać wartości stanów kwantowych to wymagamy aby granica zmienianych stanów kwantowych także należała do tej przestrzeni, inaczej nie będzie posiadać sensu fizycznego.


Z powyższych rozważań możemy wysunąć wniosek, że '''przestrzeń w której opisujemy funkcje falowe jest przestrzenią Hilberta'''.


W poprzednim rozdziale o interpretacji probalistycznej funkcji falowej móiliśmy, że funkcja falowa musi być całkowalna w kwadracie by miała sens fizyczny. Więc dokładniej, przestrzeń funkcji falowych jest podprzestrzenią przestrzeni Hilberta - należy ona do przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie z iloczynem skalarnym:


<math>(x,y) = \int_{\mathcal{V}} \,x^* y d^3r</math>


Gdzie <math>x^* \,</math> jest sprzężeniem funkcji (wektora w przestrzeni funkcyjnej), a <math>\mathcal{V}</math> dowolną podprzestrzenią przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie. Jak widać funkcja falowa <math>\psi(\vec{r},t)</math> z 3 składowymi położenia jest po prostu wektorem należącym do 4 wymiarowej (3 składowe położenia i 1 czasu) podprzestrzeni przestrzeni funkcji całkowalnych w kwadracie. Dlatego funkcje falową można zapisać w postaci wektora:


<math>\psi(\vec{r},t) \equiv |\psi\rangle</math>


Wtedy wektor <math>|\psi\rangle</math> nazywamy '''wektorem stanu'''. Choć ten zapis nie jest zbyt precyzjny - niektórych wektorów stanu nie można zapisać w postaci funkcji falowej.