Tekst źródłowy strony Matematyka ubezpieczeń życiowych/Ubezpieczenia na wiele żyć

{{T|Matematyka ubezpieczeń życiowych/Nawigacja}}
Człowiek jest istotą społeczną i zwykł odwzajemniać swe uczucia. Troska o zapewnienie bytu współmałżonka po śmierci występuje zwykle u obu współmałżonków. Oprócz zwykłych polis ubezpieczeniowych wystawianych pojedynczym osobom, ubezpieczyciele oferują więc również ubezpieczenia obejmujące kilka osób. Niniejszy rozdział prezentuje aparat matematyczny stosowany do opisu takich produktów.

== Status wspólnego życia ==
Zdarzenia, przed którymi wykupujący ubezpieczenie stara się zabezpieczyć są różne (może umrzeć dowolna osoba z rozważanej grupy). Wspólną ich cechą jest przerwanie stanu, w którym wszystkie osoby objęte ubezpieczeniem żyją. W związku z tym wprowadza się pojęcie <i>statusu wspólnego życia</i> jako odpowiednika życia pojedynczej osoby. Status taki dla grupy <math>m</math> osób w wieku odpowiednio <math>x_{1}, x_{2},\ldots, x_{m}</math> jest oznaczany jako <math>u:=x_{1}:x_{2}:\ldots:x_{m}</math>. Zmienna <math>T</math> oznaczająca czas trwania statusu (jako odpowiednik czasu życia pojedynczej osoby) przyjmuje wartość:
 <math>T=T(u)=\min\Big(T(x_{1}), T(x_{2}), \ldots, T(x_{m})\Big).</math>

Prawdopodobieństwo przeżycia dla takiego statusu jest wtedy równe:
 <math>{}_{t}p_{u}={}_{t}p_{x_{1}:x_{2}:\ldots:x_{m}}
     =Pr\Big(T(x_{1})>t \wedge T(x_{2})>t\wedge\ldots\wedge T(x_{m})>t\Big).
</math>

Jeśli przyjąć, że osoby objęte ubezpieczeniem pochodzą z tej samej populacji a ich zgony są zdarzeniami niezależnymi<ref>w rzeczywistości może to nie być prawdą</ref> to dzięki tej niezależności otrzymamy wzór:
 <math>{}_{t}p_{u}={}_{t}p_{x_{1}:x_{2}:\ldots:x_{m}}
     =\prod_{k=1}^{m}{}_{t}p_{x_{k}}.
</math>
Różniczkując względem <math>t</math> logarytm powyższego prawdopodobieństwa łatwo otrzymujemy:
 <math>\mu_{u+t}
     =-\frac{d}{d t}\ln{}_{t}p_{u}
     =-\frac{d}{d t}\sum_{k=1}^{m}\ln{}_{t}p_{x_{k}}
     =\sum_{k=1}^{m}\mu_{x_{k}+t}.
</math>

== Status ostatniego przeżywającego ==
W ubezpieczeniach na wiele żyć istotne jest nie tylko to kiedy umrze pierwsza osoba z grupy co jest potencjalnym powodem do wypłacania świadczenia, ale także to jak długo będzie żyć ostatnia osoba z grupy czyli zwykle ostatnia osoba uprawniona do świadczeń. Wprowadza się więc pojęcie statusu ostatniego przeżywającego (ang. ''last-survivor status'') i oznacza następująco
 <math> u=\overline{x_{1}:x_{2}:\ldots:x_{m}}.</math>
Zmienna <math>T</math> przyjmuje wtedy wartość
 <math> T(u)=\max(T_{1}, T_{2},\ldots,T_{m}).</math>

== Analityczne prawa śmiertelności dla wielu żyć ==
=== Populacja Gompertza ===
Załóżmy, że śmiertelnością w całej populacji rządzi prawo Gompertza <math>\mu_{x}=B\,c^{x}</math>, gdzie <math>B>0</math>, <math>c>1</math>. Będziemy szukali pojedynczego wieku <math>(w)</math> mogącego zastąpić status wspólnego życia <math>(x:y)</math>. (Podobne rozważania można jednak przeprowadzić dla większej liczby żyć.)
 <math>\mu_{x:y}(s)=\mu_{x+s:y+s}=\mu_{w+s}\qquad s\geqslant0</math>
Z wcześniejszych rozważań na temat statusu wspólnego życia wiemy, że przy
założeniu niezależności zmiennych <math>T(x)</math> i <math>T(y)</math> mamy:
 <math>\mu_{x+t}+\mu_{y+t}=\mu_{x:y}(t)\;</math>
zatem
 <math>B\,c^{x+s}+B\,c^{y+s}=B\,c^{w+s}\;</math>

 <math>
     c^{x}+c^{y}=c^{w}\;
 </math>
co definiuje poszukiwane <math>w</math>.

Dla <math>t>0</math> wynika stąd
 <math>
    {}_{t}p_{w} = \exp\bigg(-\int\limits_{0}^{t}\mu_{w+s}ds\bigg)
                = \exp\bigg(-\int\limits_{0}^{t}\mu_{x:y}(s)ds\bigg)
                = {}_{t}p_{x:y}
</math>

Tak wiec dla <math>w</math> zdefiniowanego powyżej, wszystkie prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane i wariancje dla statusu wspólnego życia <math>(x:y)</math> są równe wartościom dla pojedynczego życia <math>(w)</math>. W takiej sytuacji nie ma więc konieczności tworzenia dodatkowych tablic wielowymiarowych z wartościami aktuarialnymi dla wielu żyć.

=== Populacja Makehama ===
Założenie, że śmiertelnością w populacji rządzi prawo Makehama czyni rozważania bardziej złożonymi. Mamy bowiem
 <math>\mu_{x:y}(s)=\mu_{x+s}+\mu_{y+s}=2A+B\,c^{s}\left(c^{x}+c^{y}\right)</math>
gdzie <math>A>0</math>, <math>B>0</math>, <math>c>1</math>

Nie możemy zastąpić statusu wspólnego życia jednym życiem z powodu występowania składnika <math>2A</math>. (Nie istnieje takie <math>w</math>, niezależne od <math>s</math>, które spełniałoby założenia.) Zamiast tego zastąpimy <math>(x:y)</math> innym statusem wspólnego życia <math>(w:w)</math>. Wtedy
 <math>\mu_{w:w}(s)=2\mu_{w+s}=2\left(A+B\,c^{s}\,c^{w}\right)</math>
gdzie <math>(w)</math> wybieramy tak aby
 <math>2c^{w}=c^{x}+c^{y}</math>

W przeciwieństwie do przypadku populacji Gompertza gdzie jednowymiarowe funkcje są oparte na tablicach dla pojedynczego życia, tutaj funkcje są oparte na statusie wspólnego życia <math>(w:w)</math> dla rówieśników.

== Ubezpieczenia na wiele żyć w okresach ułamkowych ==
Rozważymy teraz założenie jednostajnego rozkładu zgonów (UDD) dla każdego z wielu żyć. Przy tym dodatkowym założeniu możemy obliczyć jednorazową składkę w ubezpieczeniu wypłacającym w momencie śmierci świadczenie opłacone składkami płatnymi częściej niż raz w roku. Przypomnijmy, że w przypadku pojedynczych żyć mieliśmy przy założeniu UDD zależność
 <math>\bar{A}_{x}=\frac{i}{\delta}A_{x}</math>
Podobna, choć nie identyczna zależność będzie występować i tutaj.
 <math>
    \bar{A}_{x:y} =\frac{i}{\delta}A_{x:y}+
                   \frac{i}{\delta}\left(1-\frac{2}{\delta}+\frac{2}{i}\right)
                   \sum\limits_{k=0}^{\infty}v^{k+1}{}_{k}p_{x:y}\,q_{x+k}\,q_{y+k}
</math>

Widzimy, że pierwszy człon otrzymanego wzoru byłby równy <math>\bar{A}_{x:y}</math> gdyby rozkład czasu wygasania statusu wspólnego życia <math>T(x:y)</math> miał jednostajny rozkład w ciągu roku. Nie jest tak gdy <math>T(x:y)=\min\left\{T(x),T(y)\right\}</math> a <math>T(x)</math> i <math>T(y)</math> mają niezależnie jednostajny rozkład w ciągu roku. Rozkład <math>T(x:y)</math> w ciągu roku pod warunkiem, że <math>(x)</math> i <math>(y)</math> umrą w różnych latach jest wprawdzie jednostajny,
ale z kolei w przypadku gdy <math>(x)</math> i <math>(y)</math> umierają w tym samym roku <math>E(\min\left\{T(x),T(y)\right\})</math> będzie się znajdować bliżej jego początku. W konsekwencji niezbędny jest drugi człon otrzymanego wzoru związany wcześniejszą wypłatą świadczenia. Można przy tym pokazać, że:
 <math>
    \frac{i}{\delta}\left(1-\frac{2}{\delta}+\frac{2}{i}\right)\approx \frac{i}{6}-\frac{i}{360}+\ldots
</math>

== Funkcje uwarunkowane kolejnością zgonów ==
Dotychczas rozpatrywaliśmy wyłącznie statusy symetryczne. Nie miało dla nas znaczenia, która osoba umiera jako pierwsza, a która jako ostatnia. Czasami jednak kwestia kolejności zgonów ma znaczenie. Inna bowiem jest sytuacja rodziny w której jako pierwszy umiera jej główny (a czasem jedyny) żywiciel a inna gdy w rodzinie umiera osoba nie osiągająca tak znacznych (czy w ogóle jakichkolwiek) dochodów.

Aby rozpatrywać te sytuacje wprowadza się kolejne oznaczenia. Ponad składową danego statusu zapisujemy numer oznaczający, jako która z kolei dana osoba umrze.

Rozpatrzymy tutaj przykładowo dwie wielkości:
* <math>{}_{n}q_{x:y}^{1}</math> – prawdopodobieństwo tego, że <math>(x)</math> umrze jako pierwszy (a więc przed śmiercią <math>(y)</math>) przed upływem <math>n</math> lat
<center>
[[Grafika:Matematyka ubezpieczeń życiowych-2.svg]]
</center>
* <math>{}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}</math> – prawdopodobieństwo tego, że <math>(y)</math> umrze jako drugi (a więc po śmierci <math>(x)</math>) przed upływem <math>n</math> lat
<center>
[[Grafika:Matematyka ubezpieczeń życiowych-1.svg‎|center]]
</center>
Z powyższego opisu widać, że przypadki opisane drugim zdarzeniem są zawarte w zbiorze przypadków opisanych pierwszym. Oczekujemy więc, że zachodzić będzie nierówność <math>{}_{n}q_{x:y}^{1}\geqslant{}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}</math>.

Można łatwo wykazać, że:
 <math>{}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;1}+{}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}={}_{n}q_{y}</math>
oraz
 <math>{}_{n}q_{x:y}^{1}={}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}+{}_{n}p_{y}\,{}_{n}q_{x}</math>
co potwierdza nierówność wynikającą z opisu poszczególnych zdarzeń.

Podobnie dla ubezpieczeń mamy
 <math>
    \bar{A}_{x:y}^{\;\;\;1}+\bar{A}_{x:y}^{\;\;\;2}=\bar{A}_{y}.
</math>

== Reinterpretacja niektórych oznaczeń ==
Status <math>\overline{n}|</math> wygasa z chwilą upłynięcia <math>n</math> lat (<math>n\geqslant0</math>). Możemy więc na nowo zinterpretować oznaczenia takie jak (ograniczając się do samego opisu sytuacji uprawniającej do uzyskania świadczenia):
* <math>A_{x:\overline{n}|}</math> – świadczenie jest wypłacane gdy wygaśnie status <math>x</math> (czyli gdy <math>(x)</math> umrze) lub gdy wygaśnie status <math>\overline{n}|</math> (czyli gdy upłynie <math>n</math> lat)
* <math>A_{x:\overline{n}|}^{1}</math> – świadczenie jest wypłacane gdy status <math>x</math> wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu <math>\overline{n}|</math> to znaczy przed upływem <math>n</math> lat
* <math>A_{x:\overline{n}|}^{\;\;\;1}</math> – świadczenie jest wypłacane gdy status <math>\overline{n}|</math> wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu <math>x</math> (czyli gdy ubezpieczony przeżyje co najmniej <math>n</math> lat)

{{Przypisy}}