Tekst źródłowy strony Logika i teoria mnogości/Algebra zbiorów

==Podstawowe wiadomości==
Jeśli ''a'' jest elementem zbioru <math>A</math>, zapisujemy to <math> a \in A </math>.

Zamiast <math>\neg a \in A</math>, w skrócie zapisujemy <math> a \notin A</math>. 

<math> a, b, ..., f \in A</math> jest skrótem zapisu <math> a \in A \land b \in A \land ... \land f \in A</math>.

Zbiory definiuje się poprzez określenie ich elementów. Z aksjomatu jednoznaczności wynika, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy, to są identyczne. Elementy zbioru można określić przez ich wyliczenie, w ten sposób <math>\{a,b,c,d\}</math> to zbiór zawierający jedynie a, b, c i d.
Zbiór można również zdefiniować za pomocą warunku, który muszą spełniać jego elementy. Mając więc jakiś warunek (własność) <math> \Phi</math> np. podzielność przez 7 można zdefiniować zbiór <math> A </math> w następujący sposób :

<math> x \in A \Leftrightarrow \Phi(x)</math>

Tak zdefiniowany zbiór <math> A </math> można zapisać również :

<math> A = \{ x : \Phi (x)\}</math> (co czytamy "zbiór <math>A</math> to zbiór takich x, że spełniony jest warunek <math> \Phi(x)</math>")

Zbiór elementów x należących do zbioru <math>B</math> i spełniających warunek <math>\Phi</math> oznaczamy przez 

<math>\{ x \in B : \Phi (x) \}</math>

==Rodziny zbiorów==
Zbiory również mogą być elementami innych zbiorów. Nazywa się je ''rodzinami zbiorów''. 

Przyjmuje się, że nie istnieje taka rodzina zbiorów <math>\{A_n : n \in \mathbb{N} \}</math>, że <math>A_{n+1} \in A_n</math>, skąd w 
szczególności wynika <math>\neg (A \in A)</math>.
==Inkluzja==
Piszemy <math>A \subset B</math>, jeśli każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B, tzn. :

<math>A \subset B \Leftrightarrow \forall x ~ (x \in A \implies x \in B)</math>

Mówimy wtedy, że zbiór A jest ''podzbiorem'' zbioru B. Jeśli ponadto <math> A \not= B </math>, to A jest ''podzbiorem właściwym'' zbioru B.
Relacja <math>A \subset B</math> nazywana jest ''inkluzją''. Ma ona następujące własności:
* <math>A \subset A </math>
* <math>A \subset B \land B \subset C \implies A \subset C </math>
* <math>A \subset B \land B \subset A \implies A = B </math>
==Działania na zbiorach==
Ze zbiorów A i B możemy utworzyć nowe zbiory:
*sumę : <math>A \cup B</math> 
*iloczyn : <math>A \cap B</math> 
*różnicę :<math>A \backslash B </math> 

Określa się je w następujący sposób:
*<math> x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \lor x \in B </math>
*<math> x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \land x \in B </math>
*<math> x \in A \backslash B \Leftrightarrow x \in A \land x \notin B </math>

Ponadto zbiory są ''rozłączne'', jeśli <math>A \cap B = \emptyset</math>.

Jeżeli wszystkie zbiory są podzbiorami pewnego zbioru, to zbiór ten nazywamy ''przestrzenią'' i oznaczamy przez <math>X</math>.

''Dopełnieniem zbioru A'' nazywamy <math>X\backslash A</math>, co można zapisać przez <math>\backslash A</math> lub <math>A'</math> lub <math>A^c</math>.

''Różnicą symetryczną'' określamy <math>A \dot{-} B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)</math>
==Para uporządkowana. Uporządkowane krotki==
Przez ''parę uporządkowaną'' rozumiemy <math>(a,b)</math>, która spełnia pewną szczególną własność :

<math> (a,b) = (c,d) \Leftrightarrow (a = c) \land (b=d)</math>

Konstrukcję za pomocą zbiorów obiektu o takiej własności podał polski matematyk [[w:Kazimierz Kuratowski | Kazimierz Kuratowski]]. Wygląda ona następująco :

<math> \{\{ a\}, \{a, b\} \} </math>

''Uporzadkowaną trójką'' nazywamy zbiór <math>((a,b),c)</math>.

''Uporządkowaną n-tką (krotką)'' <math> (a_1,...,a_n)</math> nazywamy zbiór <math> ((...((a_1,a_2),a_3)...),a_n)</math>.
==Iloczyn kartezjański==
''Iloczyn kartezjański'' <math> A \times B </math> definiujemy następująco :

<math> A \times B = \{(a,b) : a \in A \land b \in B \}</math>