Tekst źródłowy strony Liczby zespolone/Moduł liczby

==Moduł liczby zespolonej==
Wartość bezwzględna liczb rzeczywistych była tak zwaną normą - liczbą określającą odległość liczby rzeczywistej od początku układu współrzędnych, bez względu na miejsce, w którym się ta liczba znajdowała. Liczby rzeczywiste przedstawione są na jednej osi - tak więc mogły znajdować się tylko po lewej lub po prawej stronie układu współrzędnych, np. w tej samej odległości = |4| od początku osi liczb rzeczywistych znajdują  się dwie liczby: +4 oraz -4. 

Nie powinniśmy mieć też problemów z określeniem odległości w przestrzeni liczb zespolonych, które mogą przecież leżeć po bokach osi <math>\mathbb R</math>. O ile tylko <math>i \!</math> potraktujemy jako jednostkę osi urojonej - będziemy mogli rozpatrzyć położenie liczby względem początku nie tylko jednej osi rzeczywistej ''Re'', ale również względem początku osi urojonej ''Im'', w sposób znany nam doskonale z układu kartezjańskiego <math>\mathbb R^2 </math>.

Postarajmy się więc odnaleźć odległość danej liczby od początku układu współrzędnych. Szybko zauważymy, że możemy skorzystać z własności trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi o wartościach: ''a'' równej ''części rzeczywistej'' <math>\operatorname{Re}(z)</math> i ''b'' równej ''części urojonej'' <math>\operatorname{Im}(z)</math>. Wartość bezwzględna <math>|z|\!</math> będzie określała odległość <math>z\!</math> od początku układu współrzędnych. Aby wyznaczyć wzór na tę odległość - skorzystać musimy z [[w:Twierdzenie Pitagorasa|Twierdzenia Pitagorasa]], dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej ''c'': <math>c^2 = a^2 + b^2</math>. Skoro wartość ''c'' równa jest odległości liczby <math>z</math> od punktu <math>(0,0)</math> - oznacza to, że znaleźliśmy ogólny przepis na wartość bezwzględną <math>|z|</math>:

{{wzór|<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2} \!</math>|opis=wzór na odległość punktu <math>z\!</math> od początku<br />płaszczyzny liczb zespolonych <math>(0,0)\!</math>}}

{{definicja|'''Modułem liczby zespolonej''' <math> |z|</math> (wartością bezwzględną liczby zespolonej <math>z=a+ib\!</math>) nazywamy jej odległość od początku układu współrzędnych, określoną wzorem:
::<math>|z|=\sqrt{(\operatorname{Re}(z))^2 + (\operatorname{Im}(z))^2}</math>
:''(moduł liczby zespolonej to pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej)''}}

Stąd też można napisać, że:
{{wzór|<math>|z|^2= a^2+ b^2\!</math>|opis=kwadrat modułu liczby zespolonej jest sumą<br />kwadratów jej części rzeczywistej i urojonej}}

===Własności modułu===
Moduł liczby zespolonej posiada identyczne własności, co wartość bezwzględna dwumianów:
# Moduł liczby zespolonej <math>z\!</math>, sprzężonej <math>\overline z\!</math>, i przeciwnej <math>-z\!</math>:
#:<math>|\overline z|=|z|=|-z|\!</math>
# Kwadrat modułu liczby zespolonej:
#:<math>|z|^2 = z \cdot \overline z\!</math>,
# Moduł iloczynu liczb zespolonych:
#:<math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \!</math>,
# Moduł ilorazu liczb zespolonych:
#:<math>\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \!</math>, &nbsp;o ile <math>z_2 \neq 0</math>,

Moduł sumy liczb zespolonych ma również szczególne właściwości:
# Moduł sumy liczb zespolonych:
#:<math>|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \!</math>,
# Moduł różnicy liczb zespolonych:
#:<math>|z_1 - z_2| \geq |z_1| - |z_2|\!</math>,
# Moduł części rzeczywistej:
#:<math>\left|\operatorname{Re}(z)\right| \leq |z|\!</math>,
# Moduł części urojonej:
#:<math>\left|\operatorname{Im}(z)\right| \leq |z|\!</math>,

<noinclude>{{kreska nawigacja|Liczby zespolone|Argument liczby|Sprzężenie liczby}}</noinclude>