Tekst źródłowy strony Fale/Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni

<noinclude><!--
-->{{SkomplikowanaStronaStart<!--
      -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!--
-->}}</noinclude>

Dotychczas rozważaliśmy fale opisując je w jednym kierunku. Wprowadzimy fale biegnące trójwymiarowe opisując je jako fale płaskie odpowiednio obracając układ współrzędnych. Przekonamy się,  że przejście do trzech wymiarów daje nam coś więcej niż zwykła zamianę zmiennych dla fal płaskich rozchodzącej się względem starego układu wzdłuż osi "z", na podstawie tego otrzymujemy dodatkowe stopnie swobody. Dla trzecLinkh wymiarów możemy mieć falę elektromagnetyczną, którą dla jednego kierunku mamy czystą falę biegnącą.

== Wektor propagacji dla płaskich fal harmonicznych ==
Fala płaska rozchodząca się w jednym wymiarze, która jest falą  harmoniczną dla z=0, jest funkcją o stałej amplitudzie A i częstotliwości kołowej &omega;, którego  równanie fali dla tego "z" piszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t^')=A\cos\omega t^'\;</MATH>|7.1}}
Gdy we wzorze {{LinkWzór|7.1}} podstawimy t'=t-z/v, wtedy otrzymamy fale płaską określoną w płaszczyźnie z:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.2}}
Iloczyn liczby falowej i położenia z, czyli kz, możemy napisać dla układu obróconego względem tego układu o pewien kąt:
{{CentrujWzór|<MATH>kz^'=k(\vec{z}^'\cdot\vec{r})=(k\vec{z}^')\vec{r}=\vec{k}\vec{r}\;</MATH>|7.3}}
W ogólnym przypadku iloczyn wektora propagacji i wektora położenia możemy zapisać względem jego współrzędnych w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;</MATH>|7.4}}
Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w trójwymiarowej przestrzeni, nazywamy wychylenie od stanu równowagi, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|7.3}}, jest określane przez:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+kz^')=A\cos(\omega t-k_xx-k_yy-k_zz)=A\cos(\omega t-\vec{k}\vec{r})\;</MATH>|7.5}}

=== Prędkość fazowa ===
Funkcję fazową napisaną dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}} nazywamy funkcję zależną od częstotliwości kołowej i liczby falowej:
{{CentrujWzór|<MATH>\varphi(t,\vec{r})=\omega t-\vec{k}\vec{r}\;</MATH>|7.6}}
Będziemy się tutaj zajmować przypadkiem, gdy &phi; jest funkcją stałą:
{{CentrujWzór|<MATH>0=\omega dt-\vec{k}d\vec{r}\;</MATH>|7.7}}
Interesuje nasz przypadek, gdy {{Formuła|<MATH>\vec{k}||d\vec{r}\;</MATH>}}, bo fala rozchodzi się zgodnie z kierunkiem wektora propagacji, zatem w takim przypadku prędkość fazową definiujemy jako stosunek częstotliwości kołowej &omega; i liczby falowej k, która jest długością wektora propagacji.
{{CentrujWzór|<MATH>v={{\omega}\over{k}}\;</MATH>|7.8}}

=== Przykłady fal biegnących w trójwymiarze ===
Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w przestrzeni, której częstość kołowa jest zależna od składowych wektora propagacji, posiada związek dyspersyjny:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k^2=c^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;</MATH>|7.9}}
Dla fal rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym z prędkością "v", w którym możemy zapisać jako stosunek prędkości światła i stałej załamania, w którym to możemy zastąpić w {{LinkWzór|7.8}} "c" przez prędkość "v", wtedy mamy związek dyspersyjny dla tej rozważanej prędkości:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{c^2}\over{n^2}}k^2={{c^2}\over{n^2}}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;</MATH>|7.10}}
Rozchodząca się fala w jonosferze, która ma częstość podstawową równą &omega;{{Sub|pl}}, dla którego częstość kołowa jest zależna od tej częstości i od wektora propagacji, ma związek dyspersyjny:
{{CentrujWzór|<math>\omega^2=\omega_{pl}^2+c^2k^2=\omega_{pl}^2+c^2\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)\;</MATH>|7.11}}

=== Fale stojące ===
Fale biegnące w dwóch osobnych kierunkach i mające takie same amplitudy i częstotliwości kołowe, w wyniku nakładania się takich fal, otrzymamy związek:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(\vec{k}\vec{r}+\alpha)\;</MATH>|7.12}}
Pamiętając, że {{Formuła|<MATH>\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;</MATH>}}, to stosując odpowiednie przekształcenia trygonometryczne możemy napisać na podstawie {{LinkWzór|7.12}} związek:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(k_xx+\alpha_1)\cos(k_yz+\alpha_2)\cos(k_z+\alpha_3)\;</MATH>|7.13}}

=== Trójwymiarowe równanie falowe według klasycznego równania fali ===
Wyznaczmy teraz drugą pochodną cząstkową równania fali {{LinkWzór|7.5}} względem czasu:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi\;</MATH>|7.14}}
A teraz policzmy drugie pochodne wspomnianego równania fali względem położeń w  trzech możliwych sposobach, tzn. względem trzech możliwych współrzędnych:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}=-k_x^2\psi\;</MATH>|7.15}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}=-k_y^2\psi\;</MATH>|7.16}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}=-k_z^2\psi\;</MATH>|7.17}}}}
Całkowite równanie falowe na podstawie związku {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} ,{{LinkWzór|7.16}} i {{LinkWzór|7.17}}, przy wykorzystaniu definicji długości wektora propagacji, którego długość jest liczbą falową, przy definicji prędkości falowej {{LinkWzór|7.8}}, i definicji laplasjanu, czyli operatora &Delta;, jest napisane według:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2\left({{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=v^2\Delta\psi\;</MATH>|7.18}}

=== Przykłady równań fali ===
Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, przy założeniu, że prędkość fazowa fali jest równa prędkości światła w próżni równej "c", jest:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta\psi\;</MATH>|7.19}}
Dla fal elektromagnetycznych rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym należy w równaniu falowym, wprowadzić prędkość rozchodzącej się fali równą c/n. Wtedy równanie różniczkowe falowe zapisujemy w formie:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=({{c}\over{n(\omega)}})^2\Delta\psi\;</MATH>|7.20}}
Dla fal rozchodzących się w jonosferze równanie falowe jest natomiast zależne dodatkowo od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|pl}}, która jest przedstawiona w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2_{pl}+c^2\Delta\psi\;</MATH>|7.21}}

=== Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w falowodzie ===
{{Rysunek|Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w prostokątnym falowodzie.jpeg|kw1|Prostokątny falowód, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne z przewodzącymi paskami bocznymi}}

Równanie falowe dla przestrzeni dwuwymiarowej, w której rozchodzą się fale elektromagnetyczne {{LinkWzór|7.19}} określanych względem współrzędnych igrekowej i zetowej, jest napisane według:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\left({{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow-\omega^2\psi=c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|7.22}}
Całkowite równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w falowodzie, określamy jako funkcję y i z, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos(k_zz-\omega t)\;</math>|7.23}}
Związek {{LinkWzór|7.23}} na podstawie {{LinkWzór|7.22}} zachodzi, gdy mamy związek dyspersyjny:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k_y^2+c^2k_z^2\;</MATH>|7.24}}
Funkcja fali {{LinkWzór|7.23}} na obu końcach naszego falowodu jest tak skonstruowane by w tych punktach była równa zero, co dla y=0 zachodzi automatycznie, ale znów dla y=b  już nie, aby to zachodziło musi być spełniony warunek:
{{CentrujWzór|<MATH>k_yb=m\pi\mbox{ dla }k=1,2,3,..\;</math>|7.25}}
Będziemy teraz rozpatrywać częstość progową, czyli tzn. dla której zachodzi m=1, wtedy warunek dyspersyjny {{LinkWzór|7.24}} dla której zachodzi wniosek na k{{Sub|y}}, zapisujemy na w sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{c^2\pi^2}\over{b^2}}+c^2k_z^2\;</MATH>|7.26}}
Widzimy, że związek dyspersyjny {{LinkWzór|7.26}} ma kształt podobny do związku dyspersyjnego w jonosferze {{LinkWzór|7.11}} albo do związku dyspersyjnego dla wahadeł sprzężonych ze sobą {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} dla małych k:
{{CentrujWzór|<math>\omega^2={{g}\over{l}}+{{Ka^2}\over{M}}k^2\;</math>|7.27}}
Dla częstości kołowej poniżej częstości &pi;c/b równanie fali przestawiamy w zależności od stałej zaniku &chi;:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos\omega te^{-\chi z}\;</MATH>|7.28}}
Związek dyspersyjny dla równania fali {{LinkWzór|7.28}}, który można otrzymać podstawiając go do {{LinkWzór|7.19}}, otrzymujemy wtedy inny wzór do {{LinkWzór|7.26}}, który jest w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k_y-c^2\chi^2_z={{c^2\pi^2}\over{b^2}}-c^2\chi^2_z\;</MATH>|7.29}}

=== Fale biegnące krzyżujące się nawzajem ===
Równanie fali {{LinkWzór|7.23}} możemy zapisać jako superpozycja fal biegnących o takich samych częstotliwościach, ale różnych liczbach falowych, którego schemat krzyżowania się tychże fal przestawiana jest jako:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi=A\sin k_yy\cos(k_zz-\omega t)={{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)-{{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)\;</MATH>|7.30}}
dla której we wzorze {{LinkWzór|7.30}} mamy związek dla wektorów propagacji:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{k}_1+\hat{z}k_z+\hat{y}k_y\mbox{,  }\vec{k}_z=\hat{z} k_z-\hat{y}k_y\;</MATH>|7.31}}
Krzyżowanie się fal wynika z tego, że {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;,</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{k}_2\;</MATH>}} dla związków {{LinkWzór|7.31}} mają przeciwne skierowane składowe igrekowe tychże omawianych wektorów propagacji.

=== Prędkość fazowa i grupowa fal rozchodzących się fal falowodzie ===
{{Rysunek|Ilustracja prędkości fazowej i grupowej.jpeg|kw2|Ilustracja prędkości fazowej i grupowej dla fali krzyżujących się w falowodzie}}
Ilustracja dla fal biegnących w falowodzie pozwala na ustalić związek pomiędzy prędkością grupową a fazową w wyniku nakładania się dwóch fal krzyżujących się ze sobą. Odpowiednik {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;</math>}} znosi składową igrekową z {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;</MATH>}} z tą sama składową, ale oba te wektory propagacji mają tą sama składową zetową. Podczas gdy promień przebywa odległość ct, w tym czasie czoło fali przebyło odległość równą:
{{CentrujWzór|<MATH>{{ct}\over{v_ft}}=\cos\theta\Rightarrow v_f={{c}\over{\cos\theta}}\;</MATH>|7.32}}
Podobnie mówimy dla prędkości grupowej uzmysławiając sobie, że zachodzi:
{{CentrujWzór|<MATH>{{v_gt}\over{ct}}=\cos\theta\Rightarrow v_g=c\cos\theta\;</MATH>|7.33}}
Wyznaczmy teraz iloczyn prędkości fazowej i grupowej, który jest równy kwadratowi prędkości światła:
{{CentrujWzór|<MATH>v_gv_f={{\omega}\over{k_z}}{{d\omega}\over{dk_z}}={{c}\over{\cos\theta}}c\cos\theta=c^2\;</MATH>|7.34}}
Drugi bardzo ważny związek wynika skorzystania z udowodnionego związku {{LinkWzór|7.34}}:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d\omega^2}\over{dk^2_z}}=c^2\Rightarrow d\omega^2=c^2dk^2_z\Rightarrow \omega^2=c^2k_z^2+\operatorname{const}\;</MATH>|7.35}}
jeśli do związku {{LinkWzór|7.24}} podstawimy związek {{LinkWzór|7.25}}, w ten sposób otrzymujemy związek dyspersyjny w zależności do liczby dyskretnej dodatniej całkowitej m i współrzędnej zetowej wektora propagacji:
{{CentrujWzór|<math>\omega^2=c^2k^2_z+{{c^2\pi^2m^2}\over{b^2}}\;</MATH>|7.36}}
Co potwierdza zgodność {{LinkWzór|7.35}} z {{LinkWzór|7.36}}.

=== Odbijanie światła i jego przepuszczanie padającego ze szkła do powietrza ===
{{Rysunek|Odbicie i załamanie promienia padającego ze szkła do powietrza.jpeg|kw3|Odbijanie i załamanie promienia padającego ze szkła do powietrza}}
Określmy teraz dwa ośrodki, którym pierwszym jest powietrze a drugim szkło, szkło rozciąga się z minus nieskończoności do zera, a druga część przestrzeni stanowi próżnia.
Wartości wektorów propagacji określamy z definicji prędkości fazowej dla próżni dla światła w sposób:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_2={{\omega}\over{c}}\;</MATH>|7.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_1=n{{\omega}\over{c}}\;</MATH>|7.38}}}}
Współrzędne igrekowe wektorów propagacji są sobie równe  w próżni i w szkle, i je zapisujemy na w sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>k_{2y}=k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;</MATH>|7.39}}
Związek otrzymany w punkcie {{LinkWzór|7.39}} podstawiamy do związku na całkowitą wartość wektora propagacji dla przestrzeni dwuwymiarowej, z którego możemy otrzymać wzór na kwadrat współrzędnej zetowej wektora propagacji:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\omega^2}\over{c^2}}=k_{2y}^2+k_{2z}^2={{n^2\omega^2}\over{c^2}}\sin^2\theta_1+k_{2z}^2\Rightarrow
k_{2z}^2={{\omega^2}\over{c^2}}(1-n^2\sin^2\theta_1)\;</MATH>|7.40}}
Gdy promienia załamanego nie ma, wtedy kwadrat współrzędnej zetowej wektora falowego dla fali w próżni jest równy zero. Ten kąt przy którym to pojawia się jest zwany kątem granicznym padania całkowitego odbicia wewnętrznego i przejawia się on według {{LinkWzór|7.40}}:
{{CentrujWzór|<MATH>n\sin\theta_g=1\;</MATH>|7.41}}

=== Wyprowadzenie prawa Snelliusa ===
Weźmy sobie dwa dowolne ośrodki, w którym pierwszy jest ośrodek o współczynniku załamania n{{Sub|2}}, a drugi o współczynniku załamania n{{Sub|1}}. Mając na myśli, że igrekowe współrzędne promienia przed i po załamaniu w zależności od całkowitej długości liczby falowej przestawiamy jako:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_{2y}=k_2\sin\theta_2=n_2{{\omega}\over{c}}\sin\theta_2\;</MATH>|7.42}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n_1{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;</MATH>|7.43}}}}
Porównując te dwie wielkości na współrzędne igrekowe  dla ośrodka pierwszego jak i drugiego, które się nie zmieniają, to możemy określić pewien związek pomiędzy kątami padania i załamania:
{{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_1\;</MATH>|7.44}}

=== Całkowite wewnętrzne odbicie ===
Rozważmy przypadek, gdy we wzorze {{LinkWzór|7.40}} wyrażenie to przyjmuje wartość ujemną dla pewnych katów większych od kąta granicznego, zatem
weźmy sobie na tyle duży kąt by stała {{Formuła|<math>k_{2x}^2\;</MATH>}} miała wartość ujemną, wtedy należy napisać: 
{{CentrujWzór|<MATH>-\chi^2_{2z}=-\chi^2=k_{2z}^2\;</MATH>|7.45}}
Wtedy związek {{LinkWzór|7.40}}, który jest napisany w zależności od kąta padania na granicy dwóch ośrodków &theta;{{Sub|1}}, na  postawie {{LinkWzór|7.45}}, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>\chi^2={{\omega^2}\over{c^2}}(n^2\sin^2\theta_1-1)\;</MATH>|7.46}}
Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni jest fala zanikającą, która opisywana jest przy pomocy funkcji proporcjonalnej do funkcji wykładniczej:
{{CentrujWzór|<math>\psi(y,z,t)=A\cos(\omega t-k_y t)e^{-\chi z}\;</MATH>|7.47}}
Widzimy, że wtedy funkcja falowa jest falą biegnącą wzdłuż osi igrekowej, a falą wykładniczą wzdłuż osi zetowej.
Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.47}}, to średnia gęstość energii jest wprost proporcjonalna do jego średniej czasowej kwadratu funkcji falowej.

== Teoretyczny opis fal na wodzie ==
Zawsze nas interesowały fale na wodzie. Pominiemy niektóre właściwości rzeczywistej wody, miedzy innymi jej lepkość, dla której Prof. Richard Feynman określa je mianem suchej wody. Przemieszczenie na wodzie poszczególnych punktów, które będziemy opisywać jej jako położenie poszczególnych elementów wody zależne od położenia i czasu, określamy je przez:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(x,y,t)=\hat{x}\psi_x(x,y,t)+\hat{y}\psi_y(x,y,t)\;</MATH>|7.48}}
Chwilowa prędkość wody o współrzędnych x, y  w stanie równowagi, która jest określana jako pochodna cząstkowa przemieszczenia {{LinkWzór|7.48}}, jest pisana:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(x,y,t)={{\partial\vec{\psi}(x,y,t)}\over{\partial t}}=\hat{x}{{\partial\psi_x}\over{\partial t}}+\hat{y}{{\partial\psi_y}\over{\partial t}} \;</MATH>|7.49}}
Lokalne prawo zachowania masy mówi, że suma dywergencji  iloczynu prędkości przez gęstość i pochodnej cząstkowej gęstości cząstkowej względem czasu jest równa zero, a my będziemy rozpatrywać, gdy gęstość wody nie zmienia się w czasie i też w przestrzeni, wtedy dywergencja wektora prędkości powinna być równa zero, co do tak uzyskanego prawa podstawiamy {{LinkWzór|7.49}}:
{{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\cdot\vec{v}=\nabla\cdot{{\partial\vec{\psi}}\over{\partial t}}={{\partial}\over{\partial t}}\nabla\cdot\vec{\psi}\Rightarrow \nabla\cdot\vec{\psi}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.50}}
Warunek braku pęcherzyków we wzorze {{LinkWzór|7.50}} indukuje, że dywergencja wektora przemieszczenia poszczególnych elementów wody indukuje natomiast fakt:
{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{\psi}={{\partial\psi_x}\over{\partial x}}+{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=0\;</MATH>|7.51}}
Brak wirów w wodzie indukuje wskazuje, że rotacja wektora prędkości {{LinkWzór|7.49}} pokazuje, a co za tym idzie, że rotacja przemieszczenia jest wielkością stałą i równą zero, tzn. że powinno zachodzić przy braku pęcherzyków :
{{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\times\vec{v}=\nabla\times{{\partial\psi}\over{\partial\psi}}={{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\psi)\Rightarrow\nabla\times\vec{\psi}=0\Rightarrow 0={{\partial\psi_y}\over{\partial x}}-{{\partial\psi_x}\over{\partial y}}=0\;</MATH>|7.52}}
Przyjmijmy, że funkcje &psi;{{Sub|x}} i &psi;{{Sub|y}}, które są przemieszczeniami w zależnymi od czasu i położenia iksowego, która względem tych argumentów zmieniają się w sposób sinusoidalny lub kosinusoidalny, przedstawiają się:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y(x,y,t)=\cos\omega t\sin kx f(y)\;</MATH>|7.53}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x(x,y,t)=\cos\omega t\cos kx g(y)\;</MATH>|7.54}}}}

=== Zależności pomiędzy ruchem poziomym a pionowym ===
Wzory {{LinkWzór|7.53}} i {{LinkWzór|7.54}} możemy podstawić do {{LinkWzór|7.51}} i {{LinkWzór|7.52}},  w ten sposób otrzymujemy warunki w postaci dwóch równań różniczkowych względem dwóch nieznanych funkcji, które chcemy wyznaczyć:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>-kg(y)+{{df(y)}\over{dy}}=0\;</MATH>|7.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{dg(y)}\over{dy}}-kf(y)=0\;</MATH>|7.56}}}}
Równanie {{LinkWzór|7.55}} różniczkujemy obustronnie względem "y"  i wykorzystujemy do niego równość {{LinkWzór|7.56}}, otrzymujemy równanie drugiego rzędu, którego rozwiązanie podamy w jednej linijce:
{{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f}\over{dy^2}}=k^2f=0\Rightarrow f(y)=Ae^{ky}+Be^{-ky}\;</MATH>|7.57}}
Końcowe rozwiązanie f(y) podane w punkcie {{LinkWzór|7.57}} podstawiamy do wzoru różniczkowego za f(y) {{LinkWzór|7.55}},  w ten sposób otrzymujemy równość na rozwiązanie g(y):
{{CentrujWzór|<MATH>g(y)=Ae^{ky}-Be^{-ky}\;</MATH>|7.58}}

=== Warunki brzegowe na dnie zbiornika wodnego ===
Na dnie zbiornika wodnego nie ma ruchu pionowego wody, zatem powinno zachodzić dla y=-h warunek &psi;{{Sub|y}}(-h)=0, co indukuje od razu warunek brzegowy zależności stałej B  od stałej A, który piszemy wzorem {{Formuła|<MATH>B=-Ae^{-2kh}\;</MATH>}}, co daje nam równania na przemieszczenia względem osi iksowej i igrekowej, co je piszemy wzorami:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos\omega t\sin kx\left(e^{ky}-e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;</MATH>|7.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\cos\omega t\cos kx\left(e^{ky}+e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;</MATH>|7.60}}}}
Gdy mamy do czynienia z głęboką wodą, wtedy przemieszczenia {{LinkWzór|7.59}} i {{LinkWzór|7.60}} możemy napisać po pominięciu wyrazu z e{{Sup|-2kh}}, w ten sposób otrzymujemy wzory na &psi;{{Sub|y}} i na &psi;{{Sub|x}}:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos\omega t\sin kxe^{ky}\;</MATH>|7.61}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\cos\omega t\cos kxe^{ky}\;</MATH>|7.62}}}}
Gdy mamy doczynienia z wodą płytką, wtedy należy pominąć wyrazy z dokładnością do wyrazów liniowych względem przestawienia {{Formuła|<MATH>e^x\simeq 1+x\;</MATH>}}, w ten sposób dostajemy wniosek:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\psi_y=2A\cos\omega t\sin kx[k(y+h)]\;</MATH>|7.63}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=2A\cos\omega t\cos kx\;</MATH>|7.64}}}}

=== Związek dyspersyjny dla fal grawitacyjnych rozchodzącej się w wodzie ===
{{Rysunek|Ilustracja grawitacyjnej siły kierującej.jpeg|kw4|Ilustracja grawitacyjnej siły kierującej}}

Całkowita siła działając na nieskończenie mały element objętości wody o masie &Delta;m, która działa na powierzchni piszemy z definicji siły pochodzącej od ciśnienia, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>F_x=-L\Delta y[p(x+\Delta x)-p(x)]=-L\Delta y\rho g\left[\psi_y(x+\delta x)-\psi_y(x)\right]=L\delta y\Delta x\rho g{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-(\Delta M)g\left[{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}\right]_{y=0}\;</MATH>|7.65}}
Druga zasada dynamiki Newtona dla naszego elementu wody o masie &Delta;M dla niezrównoważonej siły F{{Sub|x}} wprost proporcjonalnej do drugiej pochodnej igrekowego przemieszczenia względem czasu jest określana według:
{{CentrujWzór|<MATH>F_x=(\Delta M)\left[{{\partial^2\psi_y}\over{\partial t^2}}\right]_{y=0}\;,</MATH>|7.66}}
Jeśli połączymy związki {{LinkWzór|7.65}} i {{LinkWzór|7.66}} przy istniejących funkcjach jako przemieszczenia iksowego {{LinkWzór|7.60}} i przemieszczenia igrekowego {{LinkWzór|7.59}}, w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny kwadratu częstotliwości kołowej względem liczby falowej i głębokości wody:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk{{1-e^{-2kh}}\over{1+e^{-2kh}}}\;</MATH>|7.67}}
Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.67}} możemy napisać wzory na związki dyspersyjne na  kwadrat częstotliwości kołowych dla wody głębokiej i płytkiej:
{{ElastycznyWiersz|1=<center>'''głęboka woda'''</center>{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk\Rightarrow v_f=\sqrt{g\not{\lambda}}\;</MATH>|7.68}}|2=<center>'''płytka woda'''</center>{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk^2h\Rightarrow v_f=\sqrt{gh}\;</MATH>|7.69}}}}

=== Fale biegnące  na wodzie ===
Rozważmy teraz fale na wodzie, które przestawiamy względem funkcji sinus i kosinus przy argumencie &omega;t-kx, których definicja przemieszczenia igrekowego i iksowego przestawiamy koleino:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos(\omega t-kx)f(y)\;</MATH>|7.70}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\sin(\omega t-kx)g(y)\;</MATH>|7.71}}}}
Związki na f(y) i g(y) dla &psi;{{Sub|y}} {{LinkWzór|7.70}} i &psi;{{Sub|x}} {{LinkWzór|7.71}} są {{LinkWzór|7.55}} i {{LinkWzór|7.56}}, zatem dalsze  obliczenia co do fal rozchodzących się po wodzie są takie same jak dla fal stojących, więc nie należy  ich powtarzać.

== Fale elektromagnetyczne w próżni ==
Zestaw równań obowiązujących w próżni, dla którego gęstość objętościowa ładunku i gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest równa zero, określamy wedle:
{{Tabelka|klasa=wikitable|<!--
   -->{{Wiersz|<!--
          -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|''' Różniczkowe równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella dla gęstości i prądu objętościowych równych zero: '''}}}}<!--
   -->}}{{Wiersz|<!--
          -->{{Komórka|{{Center|''' Pierwsze prawo Maxwella '''}}}}<!--
          -->{{Komórka|{{Center|''' Drugie prawo Maxwella '''}}}}<!--
          -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella '''}}}}<!--
          -->{{Komórka|{{Center|''' Czwarte prawo Maxwella '''}}}}<!--
   -->}}{{Wiersz|<!--
         -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}=0</MATH>|7.72}}}}<!--
         -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|7.73}}}}<!--
         -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|7.74}}}}<!--
         -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}={{1}\over{c^2}}{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|7.75}}}}<!--
   -->}}<!--
-->}}

Rozpatrzmy teraz równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, dostajemy gdy równość {{LinkWzór|7.75}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu, i do niego podstawiając wzór {{LinkWzór|7.74}}, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}={{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\times{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}=c^2\nabla\times(\nabla\times\vec{E})\;</math>|7.76}}
Tutaj skorzystamy z tożsamości różniczkowej, które tutaj nie będziemy udowodniać i ją przestawiamy w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{E})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|7.77}}
Równość {{LinkWzór|7.76}} możemy napisać na podstawie zachodzącej tożsamości różniczkowej {{LinkWzór|7.77}} i pierwszego równania różniczkowego Maxwella {{LinkWzór|7.72}} w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=c^2\nabla^2\vec{E}(x,y,z,t)\;</MATH>|7.78}}
Równanie {{LinkWzór|7.78}} jest równoważne trzem równaniom różniczkowym, które przepisujemy trzema związkami, które są równaniami falowymi:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_x}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_x\;</math>|7.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_y}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_y\;</math>|7.80}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_z}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_z\;</math>|7.81}}}}
Równania {{LinkWzór|7.79}}, {{LinkWzór|7.80}} i {{LinkWzór|7.81}} są to klasyczne równania falowe dla każdej współrzędnej z osobna. Podobne związki możemy otrzymać, gdy mamy doczynienia z falami magnetycznymi, które też otrzymujemy w postaci trzech związków.
Całkowity wektor fali elektrycznej i magnetycznej, gdy mamy poszczególne współrzędne, które są równaniami falowymi, przestawiamy:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\vec{E}=\hat{x}E_x(z,t)+\hat{y}E_y(z,t)+\hat{z}E_z(z,t)\;</MATH>|7.82}}|2={{CentrujWzór|<math>\vec{B}=\hat{x}B_x(z,t)+\hat{y}B_y(z,t)+\hat{z}B_z(z,t)\;</MATH>|7.83}}}}
Z warunku {{LinkWzór|7.72}} wynika, że składowa zetowa  natężenia pola elektrycznego nie zależy od współrzędnej zetowej, czyli stąd wynika, że mamy doczynienia z falami poprzecznymi, napiszemy teraz dowód wykorzystując, że fala {{LinkWzór|7.82}} nie zależy od współrzędnej iksowej i igrekowej, która mówi o poprzeczności fali elektrycznej, co matematycznie zapisujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\vec{E}={{\partial E_z(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.84}}
Z {{LinkWzór|7.84}} wynika, co chcieliśmy wykazać. Następnie wykażmy czy pole magnetyczne jest polem poprzecznym, w tym celu należy wykorzystać drugie prawo Maxwella {{LinkWzór|7.73}} i z zależności współrzędnych wektora wektora indukcji magnetycznej {{LinkWzór|7.82}}, z której wynika od razu poprzeczność naszej fali magnetycznej.
Wykażemy teraz, że zetowa współrzędna fali elektromagnetycznej nie zależy od czasu dla pola elektrycznego, w tym celu należy wykorzystać tożsamość {{LinkWzór|7.75}} dla fali magnetycznej zapisaną w punkcie {{LinkWzór|7.82}} w postaci pewnego wektora, stąd wnioskujemy, że współrzędna zetowa fali elektrycznej nie zależy od czasu, a matematyczny zapis tego dowodu jest:
{{CentrujWzór|<MATH>(\nabla\times\vec{B})_z=\left(\begin{vmatrix}
\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\
{{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\
B_x&B_y&B_z\\
\end{vmatrix}\right)_z=\hat{z}\left({{\partial B_y}\over{\partial x}}-{{\partial B_x}\over{\partial y}}\right)=0\;,</MATH>|7.85}}
Co z czwartego różniczkowego prawa Maxwella wynika nasz upragniony dowód o niezależności współrzędnej zetowej pola elektrycznego od czasu.
Podobnie wykazujemy, że współrzędna zetowa pola magnetycznego też nie zależy od czasu, w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|7.74}}, co tutaj dowodzimy jak w punkcie {{LinkWzór|7.85}}.
===Polaryzacja liniowa i eliptyczna pola elektromagnetycznego===
Współrzędne  pola elektrycznego nie są sprzężone równaniami różniczkowymi Maxwella E{{Sub|x}} i E{{Sub|y}}, one są niezależne od siebie, tzn. możemy wytworzyć je w  taki sposób by E{{Sub|x}} było zawsze różne od zera, a składowa E{{Sub|y}} było zawsze równe zero, mówimy wtedy, że fala elektryczna jest spolaryzowana w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}}. Układ jest spolaryzowany kołowo, gdy natężenia współrzędnych fali elektrycznej spełniają zależności:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos\omega t\;</math>|7.86}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_y=E_0\sin\omega t\;</MATH>|7.87}}}}
Widzimy, że według przestawienia współrzędnych iksowej {{LinkWzór|7.86}} i igrekowej {{LinkWzór|7.87}} pola elektrycznego zmieniają się z częstością kołową &omega;, co takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją kołową, to te współrzędne pola możemy powiązać równaniem:
{{CentrujWzór|<MATH>E_x^2+E_y^2=E_0^2\;</MATH>|7.88}}
Natomiast, gdy pole jest związane zależnościami dla drgających składowych fali pola elektrycznego z częstością kołową &omega;:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_{0x}\cos\omega t\;</math>|7.89}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_y=E_{0y}\sin\omega t\;</MATH>|7.90}}}}
wtedy na podstawie zależności współrzędnej iksowej {{LinkWzór|7.89}} i igrekowej {{LinkWzór|7.90}} pola elektrycznego, to takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją eliptyczną, możemy je powiązać równaniem:
{{CentrujWzór|<MATH>{{E_x^2}\over{E_{0x}^2}}+{{E_y^2}\over{E_{0y}^2}}=1\;</math>|7.91}}
Widzimy, że polaryzacja kołowa przestawiona wzorem {{LinkWzór|7.88}} jest szczególnym przypadkiem polaryzacji eliptycznej {{LinkWzór|7.91}} dla E{{Sub|0x}}=E{{Sub|0y}}=E{{Sub|0}}.

=== Biegnące Fale elektromagnetycznego harmoniczne ===
Przyjmijmy, że mamy falę biegnącą harmoniczną przestawiającą drgania pola elektrycznego w czasie drgającą z częstością kołową &omega; i posiadającej liczbę falową równą "k" przestawianą przy założeniu, że ta fala jest fala liniową.
{{CentrujWzór|<MATH>E_x=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.92}}
Biorąc warunki koleino {{LinkWzór|7.75}} i {{LinkWzór|7.76}}, wtedy przy pomocy równania fali {{LinkWzór|7.92}} przestawiających falę elektryczną biegnącą harmoniczną, które możemy wykorzystać do przestawienia poniższych równości:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-{{1}\over{c^2}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}={{k^2}\over{\omega^2}}\omega A\sin(\omega t-kz)={{k}\over{\omega}}kA\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.93}}
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}=-kA\sin(\omega t-kz)=-{{k}\over{\omega}}\omega A\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|7.94}}
Widzimy na podstawie wzorów {{LinkWzór|7.93}} i {{LinkWzór|7.94}}, że pochodna B{{Sub|y}} względem czasu "t" i położenia "z" jest wprost proporcjonalna do odpowiednich pochodnych fali elektrycznej E{{Sub|x}}, zatem wnioski stąd wynikające:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\vec{E}(z,t)|=c|\vec{B}(z,t)|\;</MATH>|7.95}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\cdot\vec{B}=0\;</MATH>|7.96}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\hat{E}\times\hat{B}=\hat{v}\;</MATH>|7.97}}}}
W powyższych rozważaniach pola elektryczne i magnetyczne biegły w zgodnych kierunkach zgodnie z osią "z", którego równania dla składowej pola magnetycznego igrekowego  powstaje po podzieleniu E{{Sub|x}} przez prędkość światła, co {{LinkWzór|7.92}} dla pola elektrycznego razem z równania  fali pola indukcji magnetycznej napisaną poniżej jest zgodne z równaniami Maxwella:
{{CentrujWzór|<MATH>B_y={{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.98}}
Ale również możemy rozpatrywać falę B{{Sub|y}}, dla której ta fala biegnie w kierunku przeciwnym do osi "z", którego równanie fali jest ze znakiem przeciwnym niż u {{LinkWzór|7.92}} i to równanie fali wyrażamy według:
{{CentrujWzór|<MATH>B_y=-{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|7.99}}
to równanie razem z {{LinkWzór|7.92}} również jest zgodne z równaniami Maxwella.
Oba te kierunki są uwzględnione od razu w równaniach {{LinkWzór|7.95}}, {{LinkWzór|7.96}} i {{LinkWzór|7.97}}.

=== Stojąca fala elektromagnetyczna ===
Zajmijmy się teraz falami elektromagnetycznymi, zatem w nim występująca fala elektryczna może się rozchodzić w dwóch przeciwstawnym kierunkach, tzn. z kierunkiem +z i kierunkiem -z, wtedy suma amplitud tejże fali, dla której wykorzystamy wiadomości z trygonometrii, jest opisywana:
{{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)={{1}\over{2}}A\cos(\omega t-kx)+{{1}\over{2}}A\cos(\omega t+kx)=A\cos\omega t \cos kx\;</MATH>|7.100}}
Wektor indukcji magnetycznej jest napisany w zależności od natężenia pola elektrycznego, którą piszemy w postaci iloczynu wektorowego wektora jednostkowego w kierunku propagacji fali przez natężenie pola elektrycznego i ta całość podzielona przez prędkość światła w próżni "c".
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{B}={{1}\over{c}}\hat{r}\times\vec{E}\;</MATH>|7.101}}
Dla fali magnetycznej w zależnej od fali elektrycznej biegnącej zgodnie lub niezgodnie z osią zetową, to ich superpozycja jest wyrażona:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{B}(z,t)={{1}\over{c}}\hat{r}\times(\vec{E}^+(z,t)-\vec{E}^-(z,t))\;</MATH>|7.102}}
Jeśli patrząc na wzór {{LinkWzór|7.102}}, to można powiedzieć, że współrzędne  igrekowe fali magnetycznej lecącą w kierunku +z odpowiadające fali elektrycznej iksowej lecącą w kierunku  +z, a także odpowiadające współrzędne fali magnetycznej igrekowej lecącą do -z, która odpowiadają iksowej fali elektrycznej lecącą zgodnie -z, jeśli te dwie składowej pola magnetycznego lecącego zgodnie i odwrotnie do zwrotu osi zetowej dodamy je do siebie, w ten sposób otrzymujemy stojącą fale magnetyczną w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)-{{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)={{A}\over{c}}\sin\omega t\sin kz={{1}\over{c}}E_x\left[z-{{1}\over{4}}\lambda,t-{{1}\over{4}}T\right]
\;</MATH>|7.103}}

=== Strumień rozchodzenia się energii fali płaskiej przez pewną powierzchnię ===
Gęstość energii występujących w danym punkcie nieskończenie małym w próżni jest wyrażona w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego poprzez wzór:
{{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}\epsilon_0 E^2+{{1}\over{2\mu_0}}B^2={{1}\over{2}}\epsilon_0\left(E^2+c^2B\right)\;</MATH>|7.104}}
Spróbujmy wyrazić energię występującym w nieskończenie małym elemencie powierzchni  prostopadłej do osi z i grubości nieskończenie małej &Delta;z, wtedy ta wielkość jest wyrażona przez:
{{CentrujWzór|<MATH>W(z,t)={{1}\over{2}}\epsilon_0A\Delta z\left(E^2+c^2B^2\right)\;</MATH>|7.105}}
Wielkość {{LinkWzór|7.105}} zróżniczkujmy obustronnie względem czasu wykorzystując definicję o pochodnej iloczynu dwóch funkcji, w ten sposób otrzymujemy wyrażenie mówiące ile jest energii  dostarczanej do objetości nieskończenie małej w &Delta;zA w jednostce czasu.
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=\epsilon_0A\Delta z\left(E_x{{\partial E_x}\over{\partial t}}+c^2B_y{{\partial B_y}\over{\partial t}}\right)\;</MATH>|7.106}}
Teraz wykorzystajmy tożsamości {{LinkWzór|7.93}} i {{LinkWzór|7.94}}, by  wyliczyć wartość energii wpływającej do powierzchni A o grubości &Delta;z.
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=-\epsilon_0A\Delta z\left(c^2Ex{{\partial B_y}\over{\partial z}}+c^2B_y{{\partial E_x}\over{\partial z}}\right)=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{\partial E_xB_y}\over{\partial z}}=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)}\over{\Delta z}}=\;
</MAth>{{Br}}<math>=-A{{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)\right)=-A\left(S_z(z+\Delta z)-S_z(z)\right)
\;</MATH>|7.107}}
Współrzędna zetowa ilości przekazywanej energii przez powierzchnię A w jednostce czasu i jednostce powierzchni jest to iloczyn wektorowy wektora natężenia fali elektrycznej przez wektor natężenia fali magnetycznej, jest wyrażona na podstawie {{LinkWzór|7.107}} jako:
{{CentrujWzór|<MATH>S_z={{1}\over{\mu_0}}E_x(z,t)B_y(z,t)={{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(z,t)B_y(z,t)-E_y(z,t)B_x(z,t)\right)={{1}\over{\mu_0}}(\vec{E}\times\vec{B})_z=(\vec{E}\times\vec{H})_z\;</MATH>|7.108}}

''' Wektorem Poyntinga ''' nazywamy wektor, którego wartość jest ilością energii przekazywanej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni, a kierunek jest prostopadły do tej powierzchni, a zwrot jest na zewnątrz jej.
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}\;</MATH>|7.109}}
Jeśli wyrazić współrzędną iksową natężenia pola elektrycznego i igrekową  współrzędną indukcji pola magnetycznego przy pomocy funkcji kosinus, w ten sposób mamy dwa równania:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y={{E_0}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.111}}}}
Gęstość energii {{LinkWzór|7.104}}, u której występuje wektor natężenia pola elektrycznego, który ma tylko składową niezerową iksową, a dla pola magnetycznego posiada tylko składową igrekową, jest:
{{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}\epsilon_0(E_x^2+c^2B_y^2)=\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t-kz)\;</MATH>|7.112}}
Ilość energii całkowitej wypływającej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni jest narysowana przez:
{{CentrujWzór|<MATH>S_z={{1}\over{\mu_0}}E_xB_y={{E_0^2}\over{\mu_0c}}\cos^2(\omega t-kz)\;</MATH>|7.113}}

=== Gęstość i strumień energii dla elektromagnetycznej stojącej ===
Mając wzory dla fali stojącej pola elektrycznego {{LinkWzór|7.100}} i pola magnetycznego {{LinkWzór|7.103}}, to wtedy gęstość energii pola elektrycznego i gęstość energii pola magnetycznego mają maksima w odstępach  1/4 okresy i w odstępach położenia równej 1/4 długości fali. Energia pola elektrycznego oscyluje z częstością kołową równej 2&omega; od zera do podwojonej wartości średniej, podobnie dzieje się z energią pola magnetycznego, a wiec energia oscyluje  z tematu, w którym mamy czystą energią pola elektrycznego do tematu w którym mamy czystą energię magnetyczną, z maksimami odległymi od siebie równej 1/4&lambda;. Przypomina to energie oscylatora harmonicznego, w której w jednej chwili mamy czystą energię potencjalną do chwili, gdy mamy czystą energię kinetyczną.

=== Ciśnienie promieniowania ===
Foton, który zostaje pochłonięty przez daną jednostkę powierzchni przekazuje jej pewien pęd równą pędowi cząstki, a jeśli foton całkowicie zostanie odbity od powierzchni przekazuje jej podwójny pęd równy zmianie pędu fotonu po odbiciu i przed odbiciem. Aby wyznaczyć zależność ciśnienia promieniowania promieniowania w zależności od energii danego fotonu musimy napisać siłę Lorentza w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{E}q+q\vec{v}\times\vec{B}=\hat{x}qE_x+q\hat{z}q\dot{x}B_y-\hat{x}q\dot{z}B_y\;</MATH>|7.114}}
Weźmy sobie średnią czasową wyrażenia {{LinkWzór|7.114}}. Wyraz {{Formuła|<MATH>\hat{x}qE_x\;</MATH>}} ma średnią wartość równą zero, także ostatnio wyraz rozważanego wyrażenia jest równy zero, dzieje się to tak dlatego, że  przyrost prędkości w kierunku osi z można zaniedbać. Pozostaje nam jeden wyraz, dla którego będziemy liczyli średnią powyższego wyrażenia, co możemy przepisać go w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\langle\vec{F}\rangle=\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}q\langle \dot{x}B_y\rangle</MATH>|7.115}}
Z drugiej jednak strony moc wykonywana nad przesunięciem ładunku jest iloczynem siły {{LinkWzór|7.114}} i prędkości:
{{CentrujWzór|<MATH>{{dW}\over{dt}}=\vec{v}\vec{E}=q\vec{v}\vec{E}=q\dot{x}E_x\;</MATH>|7.116}}
Ponieważ cB{{Sub|y}}=E{{Sub|x}}, wtedy możemy połączyć równości {{LinkWzór|7.115}} z {{LinkWzór|7.116}}, w ten sposób otrzymać związek między przekazywanym pędem a mocą wykonywaną nad ładunkiem:
{{CentrujWzór|<MATH>\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}{{1}\over{c}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;</MATH>|7.117}}
Ze wzoru {{LinkWzór|7.117}} możemy wyznaczyć pęd fotonu w zależności od jego energii, który to pęd jest ilorazem energii fotonu W przez prędkość światła "c", lub inaczej energii fali W odpowiada pęd fali {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{P}={{W}\over{c}}\hat{z}\;</MATH>|7.118}}
Energia W możemy również wyznaczyć z poniższego wzoru, która jest to energia policzona ze związku między energią a pędem ze szczególnej teorii względności dla masy jego spoczynkowej równy zero (jeśli tam podstawić M=0), co w rezultacie otrzymujemy w wyniku końcowych perypetiach równość {{LinkWzór|7.118}}.
{{CentrujWzór|<MATH>W=\sqrt{c^2P^2+M^2c^4}\;</MATH>|7.119}}

=== Moment pędu przekazywanej przez fale biegnącą fali płaskiej ===
{{Rysunek|Światło spolaryzowane kołowo pobudza ładunki do ruchu kołowego.jpeg|kw5|Światło spolaryzowane kołowo pobudza ładunki do ruchu kołowego}}

Fala elektromagnetyczna posiada nie tylko energię i pęd liniowy, ale również moment pędu. Będziemy rozpatrywać fale elektryczne, które wprawiają w ruch obrotowy ładunek q, co jest niemożliwe przy polu spolaryzowanym liniowo. Rozważmy falę elektryczną o stałym natężeniu obracającego się z pewną prędkością kołową, w którym pole magnetyczne w zależności od pola magnetycznego piszemy poprzez wzór {{Formuła|<MATH>c\vec{B}=\hat{z}\times\vec{E}\;</MATH>}}. Pole elektryczne rozpędza ładunek q, a pole magnetyczne zakrzywia jego tor ruchu naszej cząstki. Moment skręcający {{Formuła|<MATH>\vec{\tau}\;</MATH>}} oddziałujący na ładunek q z siłą, która wynosi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times\vec{F}\;</MATH>}}, której ta wspomnianą wielkość piszemy pomnożoną przez  częstotliwość kołową &omega;, wtedy:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega\vec{\tau}=\omega\vec{r}\times\vec{F}=\omega q\vec{r}\times\vec{E}+\omega\vec{r}\times q(\vec{v}\times\vec{B})\;</MATH>|7.120}}
iloczyn wektorowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>}} ma kierunek zgodny z {{Formuła|<MATH>\hat{z}\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times(\vec{v}\times{B})\;</MATH>}} ma kierunek {{Formuła|<MATH>-\vec{v}\;</MATH>}}. A ponieważ średnia czasowa prędkości w ciągu jednego okresu jest równe zero, to momentu całkowity pochodzący od pola magnetycznego nic nie wnosi do całkowitego momentu skręcającego, ale do niego wnosi tylko pole elektryczne:
{{CentrujWzór|<MATH>\omega\vec{r}\times\vec{E}=\hat{z}\vec{v}\vec{E}\;,</MATH>|7.121}}
wtedy średnia czasowa momentu skręcającego w ciągu jednego okresu jest wyrażona przez wyrażenie:
{{CentrujWzór|<MATH>\langle \vec{\tau}\rangle=\left\langle{{d\vec{J}}\over{dt}}\right\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\langle q\vec{v}\times\vec{E}\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;</MATH>|7.122}}
Moment pędu fali elektromagnetycznej spolaryzowanej kołowo możemy wyrazić od energii fali W na podstawie {{LinkWzór|7.122}}:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{J}=\hat{z}{{W}\over{\omega}}\;</MATH>|7.123}}

=== Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodku jednorodnym liniowym ===
Prędkość światła w zależności od prędkości światła w próżni i względem stałych przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka liniowego wyrażamy wzorem:
{{CentrujWzór|<math>v^2={{1}\over{\epsilon\mu}}={{1}\over{\epsilon_0\mu_0\epsilon_r\mu_r}}={{c}\over{\epsilon_r\mu_r}}\;</MATH>|7.124}}
Wtedy kwadrat liczby falowej jest równy stosunkowi kwadratów częstotliwości kołowych drgań przez kwadrat prędkości światła pomnożonej przez iloczyn względnych przenikalności elektrycznej &epsilon;{{Sub|r}} i magnetycznej &mu;{{Sub|r}} ośrodka liniowego: 
{{CentrujWzór|<MATH>k^2={{\omega^2}\over{v^2}}={{\omega^2}\over{c^2}}\epsilon_r\mu_r\;</MATH>|7.125}}

== Promieniowanie pochodzące od przyspieszającego ładunku == 
Załóżmy, że ładunek q znajduje się w chwili początkowej w spoczynku od czasu t=-&infin; do t=0, wtedy pole elektryczne tego ładunku jest to pole opisywane przez prawo Coulumba. W chwili t=0 cząstka doznaje chwilowego przyspieszenia przez króŧki czas &Delta;t, a później porusza się ze stała prędkością v=a&Delta;t. W chwili t=0 pole elektryczne dane jest przez prawo Coulumba:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=q{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{\hat{r}}\over{r^2}}\;</MATH>|7.126}}
Określmy teraz czas t długi w porównaniu z czasem &Delta;t. Gdy odległość r jest mniejsza niż c(t-&Delta;t) od ładunku q załamanie już mineło i pole elektryczne jest wtedy wywoływane przez ładunek poruszających się z prędkością v, jest określone  jest przez wzór w zależności od kąta &theta;, w którym jest to kąt pomiędzy wektorem wodzącym punktu, w którym następuje obserwacja, którego początek ma w punkcie położenia chwilowego ładunku q, względem prędkości źródła pola elektrycznego:
{{CentrujWzór|<MATH>E={{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}{{1-\beta^2}\over{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{{{3}\over{2}}}}}\;</MATH>|7.127}}
{{Rysunek|Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku punktowego.jpeg|kw6|Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku  punktowego, przy czym zakładamy, że t>>&Delta;t i przy założeniu v{{=}}(a&Delta;t)<<c. Składowe prędkości prostopadła i równoległa do punktu obserwacji jest równa v{{Sub|&perp;}} i v{{Sub|&#166;&#166;}}.}}
Gdy prędkość ładunku jest o wiele mniejsza niż prędkość ładunku, czyli v<<c, wtedy pole elektryczne jest opisywane przez {{LinkWzór|7.126}}.
Oznaczmy przez {{Formuła|<MATH>E_{\bot}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>E_{||}\;</MATH>}}, które są to wartości bezwzględne składowych {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} koleino prostopadłej i równoległej do kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\hat{r}\;</MATH>}}, które jest polem zajętym przez załamanie, pochodzących od ładunku, który poruszał się z przyspieszeniem. Prawo zachowania strumienia linii sił pola elektrycznego pociąga ze sobą oczywiście ciągłość linii sił i dlatego stosunek poprzecznej składowej pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>E_{\bot}\;</MATH>}} do składowej równoległej (podłużnych) da się przestawić jako stosunek odległości {{Formuła|<MATH>v_{\bot} t\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>c\Delta t\;</MATH>}}, który piszemy poprzez:
{{CentrujWzór|<math>{{E_{\bot}}\over{E_{||}}}={{v_{\bot}t}\over{c\Delta t}}={{\overbrace{a_{\bot}\Delta t}^{v_{\bot}} \overbrace{{{r}\over{c}}}^t}\over{c\Delta t}}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}\;</MATH>|7.128}} 
Ponieważ pole elektryczne jest opisywane przez równanie {{LinkWzór|7.126}}, również przez ten sam wzór jest opisujemy składową równoległą (radialna) pola elektrycznego, tzn.:
{{CentrujWzór|<MATH>E_{||}=E_r={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{q}\over{r^2}}\;</MATH>|7.129}}
Możemy połączyć równanie {{LinkWzór|7.128}} z równaniem na składową radialną pola elektrycznego {{LinkWzór|7.129}}, w ten sposób otrzymujemy równość na składową prostopadłą pola elektrycznego:
{{CentrujWzór|<MATH>E_{\bot}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}E_{||}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}{{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}={{qa_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\;</MATH>|7.130}}
Całkowity wektor natężenia pola elektrycznego promieniowania określamy w zależności od wektora {{Formuła|<MATH>\vec{a}_{\bot}\;</MATH>}} jako:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_{prom}(r,t)=-{{q\vec{a}_{\bot}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\mbox{  dla }t^'=t-{{r}\over{c}}\;</MATH>|7.131}}

=== Energia promieniowania wysyłana przez ładunek punktowy ===
Wiemy, że natężenia pola elektrycznego jest prostopadłe do wektora jednostkowego propagacji fali elektrycznej {{Formuła|<MATH>\hat{r}\;</MATH>}}, 
i wykorzystując definicję wektora Poyntinga, który jest natężeniem wysyłanym przez ładunek punktowy w danym punkcie na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu, to wtedy możemy napisać wzór na ten wektor:
{{CentrujWzór|<MATH>\hat{S}(\vec{r},t)={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\vec{B}={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\left(\hat{r}\times\vec{E}\right)={{1}\over{\mu_0c}}E^2\hat{r}={{1}\over{\mu_0}}\left[-{{q\vec{a}_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}} \right]^2\hat{r}={{\mu_0q^2\vec{a}_{\bot}^2}\over{16\pi^2cr^2}}\hat{r}
</MATH>|7.132}}
Kwadrat przyspieszenia prostopadłego jest wyrażona od całkowitego przyspieszenia z definicji trójkąta prostokątnego w postaci:
{{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_{\bot}^2(t^')=\vec{a}^2(t^')\sin^2\phi\;</MATH>|7.133}}
Tożsamość {{LinkWzór|7.133}} możemy podstawić do {{LinkWzór|7.132}}, w ten sposób mamy wzór na różniczkę mocy przekazywaną w jednostce czasu przez powierzchnię dS poprzez promieniowanie:
{{CentrujWzór|<MATH>dP(\vec{r},t)={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}dS={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}r^2\sin\phi d\phi d\theta={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi d\theta\;</MATH>|7.133a}}
Całkowita moc przekazywana w jednostce czasu przez powierzchnię zamkniętą wyrażamy poprzez całkę po całym przebiegu zmienności &theta; i &phi;, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>P=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}{{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi={{\mu_0q^2\vec{a}^2}\over{8\pi c}}\int_0^{\pi}\sin^3\phi d\phi={{\mu_0q^2a^2}\over{6\pi c}}\;</MATH>|7.134}}

=== Całkowite promieniowanie dipola elektrycznego ===
Załóżmy, że ładunek q  porusza się ruchem harmonicznym, którego funkcję położenia i przyspieszenia podamy w jednej linijce:
{{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(t')=x_0\cos\omega t^\;</MATH>|7.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}(t^')=\hat{x}\ddot{x}(t^')=-\omega^2\hat{x}x(t^')\;</MATH>|7.136}}}}
Całkowita moc promieniowania dipola elektrycznego P, która jest zależna od częstotliwości kołowej drgań, która jest wysyłana do nieskończoności, wyliczamy go podstawiając {{LinkWzór|7.136}} do {{LinkWzór|7.134}},  w ten sposób:
{{CentrujWzór|<MATH>P={{\mu_0q^2\omega^4}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;</MATH>|7.137}}

=== Szerokość naturalna promieniowania linii atomu dla światła ===
Zależność całkowitej średniej energii w zależności do czasu wyrażamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.19|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, zatem możemy udowodnić tożsamość, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem i po podzieleniu przez energie układu równa jest odwrotności współczynnika zaniku drgań &tau;, czyli współczynnikowi tłumienia &Gamma;:
{{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{E}}\left[-{{dE}\over{dt}}\right]={{1}\over{\tau}}\;</MATH>|7.138}}
Całkowita energia średnia oscylatora harmonicznego tłumionego dla słabego tłumienia zależnego od czasu (wtedy &omega;&asymp;&omega;{{Sub|0}}) możemy napisać poprzez:
{{CentrujWzór|<MATH>E(t)={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\langle\dot{x}^2\rangle={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle=m\omega_0^2\langle x^2\rangle\;</MATH>|7.139}}
Całkowita moc promieniowania wysyłana przez pewną powierzchnię zamkniętą określamy przez wzór {{LinkWzór|7.137}} i na podstawie tego możemy powiedzieć, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem wyrażamy:
{{CentrujWzór|<MATH>-{{dE}\over{dt}}=P={{\mu_0q^2\omega^4_0}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;</MATH>|7.140}}
Do wzoru {{LinkWzór|7.138}} postawiamy wzory {{LinkWzór|7.140}} i {{LinkWzór|7.139}}, w ten sposób otrzymujemy wzór na naturalną szerokość połówkową linii światła:
{{CentrujWzór|<MATH>\Delta\omega={{1}\over{\tau}}={{P}\over{E}}={{\mu_0q^2\omega^2_0}\over{6\pi c m}}\;</MATH>|7.141}}

=== Prawo Rayleigha ===
Weźmy sobie teraz elektron występujący w cząsteczce molekuły, który drga pod wpływem harmonicznego natężenia pola fali elektrycznej, którego współrzędna iksowa jest:
{{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos\omega t\;</MATH>|7.142}}
Niech ładunek q będzie związany z  w cząsteczką za pomocą sprężyny o współczynniku sprężystości {{Formuła|<MATH>K=m\omega_0^2\;</MATH>}}, który porusza się ruchem drgającym, wtedy równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki jest:
{{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-m\omega_0^2x+qE_x\;</MATH>|7.143}}
Ale ponieważ zachodzi {{Formuła|<MATH>\ddot{x}(t)=-\omega^2x(t)\;</MATH>}}, co jest słuszne dla ruchu drgającego harmonicznego, wtedy równość {{LinkWzór|7.143}} możemy przepisać, po zastąpieniu iksowego przyspieszenia  przez iloczyn  kwadratu częstotliwości kołowej drgań i położenia tej cząstki względem osi iksowej, wtedy równanie ruchu elektronu przestawiamy:
{{CentrujWzór|<MATH>-m\omega^2x(t)=-m\omega_0^2(t)+qE_x\Rightarrow x(t)={{qE_x(t)}\over{m(\omega_0^2-\omega^2)}}\;</MATH>|7.144}}
Do wzoru {{LinkWzór|7.137}} na całkowitą moc wypromieniowanej do nieskończoności podstawiamy do tożsamości {{LinkWzór|7.144}}:
{{CentrujWzór|<MATH>P={{\mu_0\omega^4q^2}\over{6\pi c}}{{q^2}\over{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2}}\langle E_x^2(t)\rangle\;</MATH>|7.145}}
W omawianym przypadku, gdy częstość kołową drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} jest o wiele większa niż częstość drgań harmonicznego pola elektrycznego, czyli &omega;{{Sub|0}}>>&omega;, co można przy pomocy tychże dysput powiedzieć:
{{CentrujWzór|<MATH>P\sim\omega^4\sim{{1}\over{\lambda^4}}\;</MATH>|7.146}}
Wzór {{LinkWzór|7.146}} jest tzw. '''prawem Rayleigha''', która jest odwrotnie proporcjonalna do czwartej potęgi długości fali promieniowania wysyłany przez ładunek.

=== Czemu niebo jest niebieskawe ===
Światło  w zależności od długości fali jest rozpraszane w taki sposób, że światło o większej długości fali promieniowania elektromagnetycznego jest rozpraszane słabiej niż światło o mniejszej długości, to rozpraszanie jest dane przez prawo Rayleigha, którego to prawo obowiązuje dla równości {{LinkWzór|7.146}},  widzimy że światło niebieskie o długości fali 440-490nm jest lepiej rozpraszane niż światło czerwone, którego długość fali jest  
630-780nm, i dlatego w dzień widzimy niebo niebieskawe, a wieczorem niebo czerwonawe.

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>