Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 5.1

{{TOCright}}

Dany jest układ równań:

<math>
\begin{cases} 
x'(t) = -y + z \\ 
y'(t) = z \\
z'(t) = -x + z
\end{cases}
 \;</math>

W zapisie macierzowym <math>\mathbb{X}' = \mathbb{A} \cdot \mathbb{X} \;</math> powyższy układ wygląda następująco:

<math>

\begin{bmatrix} 
x' \\ 
y' \\ 
z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
0 & -1 & 1 \\ 
0 & 0 & 1 \\ 
-1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
x \\ 
y \\ 
z
\end{bmatrix}

 \;</math>

Jest to układ równań liniowych jednorodny z trzema niewiadomymi funkcjami <math>x(t) \;</math>, <math>y(t) \;</math> oraz <math>z(t) \;</math>, zależnymi od jednej zmiennej niezależnej <math>t \;</math>.

= Wartości własne macierzy współczynników =
Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych <math>\lambda \;</math> macierzy <math>\mathbb{A} \;</math>:

<math>det \left[ \mathbb{A} - \lambda I \right] = 0 \;</math>

<math>det 
\begin{bmatrix} 
-\lambda & -1 & 1 \\ 
0 & -\lambda & 1 \\ 
-1 & 0 & 1-\lambda
\end{bmatrix}
=
 \;</math>

szukany [[w:wyznacznik|wyznacznik]] macierzy ma postać:

<math>
= \Big( \lambda^2 (1-\lambda) + 1 + 0 \Big) - (\lambda + 0 + 0) =
 \;</math>

<math>
= \lambda^2 (1-\lambda) + 1 - \lambda =
 \;</math>

<math>
= (1-\lambda) (\lambda^2  + 1 )
 \;</math>

Zatem rozwiązaniem równania:

<math>
(1-\lambda) (\lambda^2  + 1 ) = 0
 \;</math>

są liczby <math>\lambda_1=1 \;</math>, <math>\lambda_2=i \;</math> oraz <math>\lambda_3=-i \;</math>

== Rzeczywiste wartości własne ==
Szukamy wektorów własnych <math>\mathbb{C} \;</math> odpowiadających rzeczywistej 1-krotnej wartości własnej <math>\lambda_1 = 1 \;</math>.

<math>\left[ \mathbb{A} - \lambda_1 I \right] \cdot \mathbb{C} = 0 \;</math>

zatem:

<math>
\begin{bmatrix} 
-\lambda_1 & -1 & 1 \\ 
0 & -\lambda_1 & 1 \\ 
-1 & 0 & 1-\lambda_1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
c_1 \\ 
c_2 \\ 
c_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
0 \\ 
0 \\ 
0
\end{bmatrix}
 \;</math>

następnie:

<math>
\begin{bmatrix} 
-1 & -1 & 1 \\ 
0 & -1 & 1 \\ 
-1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
c_1 \\ 
c_2 \\ 
c_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
0 \\ 
0 \\ 
0
\end{bmatrix}
 \;</math>

co ostatecznie daje układ równań:

<math>
\begin{cases} 
-c_1 -c_2 +c_3 = 0 \\ 
-c_2 +c_3 = 0 \\ 
-c_1 = 0
\end{cases}
 \;</math>

Z ostatniego równania mamy <math>c_1 = 0 \;</math>. Podstawiając tę wartość do równania pierwszego, otrzymamy, że <math>c_2=c_3=s \;</math>, gdzie <math>s \;</math> jest dowolnym parametrem. Podsumowując, otrzymamy:

<math>
\begin{cases} 
c_1 = 0\\
c_2 = s\\
c_3 = s
\end{cases}
 \;</math>

co w zapisie wektorowym wygląda następująco:

<math>C_{\lambda_1=1} =
\begin{bmatrix} 
0\\
s\\
s
\end{bmatrix}
 \;</math>
<math>
= s
\begin{bmatrix} 
0\\
1\\
1
\end{bmatrix}
 \;</math>

== Zespolone wartości własne ==
Szukamy wektorów własnych <math>\mathbb{C} \;</math> odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej <math>\lambda_2 = i \;</math> wraz z rozwiązaniem sprzężonym do niej <math>\lambda_3 = -i \;</math>.

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną <math>\lambda_3 = -i \;</math> bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

<math>\left[ \mathbb{A} - \lambda_2 I \right] \cdot \mathbb{C} = 0 \;</math>

zatem:

<math>
\begin{bmatrix} 
-\lambda_2 & -1 & 1 \\ 
0 & -\lambda_2 & 1 \\ 
-1 & 0 & 1-\lambda_2
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
c_1 \\ 
c_2 \\ 
c_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
0 \\ 
0 \\ 
0
\end{bmatrix}
 \;</math>

<math>
\begin{bmatrix} 
-i & -1 & 1 \\ 
0 & -i & 1 \\ 
-1 & 0 & 1-i
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
c_1 \\ 
c_2 \\ 
c_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
0 \\ 
0 \\ 
0
\end{bmatrix}
 \;</math>

co ostatecznie daje układ równań:

<math>
\begin{cases} 
-i c_1 -c_2 +c_3 = 0 \\ 
-i c_2 +c_3 = 0 \\ 
-c_1 + (1-i)c_3 = 0
\end{cases}
 </math>

Z drugiego równania wyznaczamy <math>c_3 = i c_2 = s \;</math>, gdzie s jest dowolnym parametrem rzeczywistym. Z powyższej zależności oraz z równania pierwszego wyznaczymy współrzędne wektora własnego odpowiadającego parze sprzężonych zespolonych wartości własnych.

<math>
\begin{cases} 
c_1 = (1-i) s \\ 
c_2 = -i s \\ 
c_3 = s
\end{cases}
 \;</math>

co w zapisie wektorowym wyrazimy jako

<math>
\mathbb{C}_{\lambda_2 = i} = s
\begin{bmatrix} 
1-i \\ 
-i  \\ 
1
\end{bmatrix}
 \;</math>