Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 2.1

{{TOCright}}

Dany jest układ równań:

<math>
\begin{cases} 
x'(t) = -5x -2y \\ 
y'(t) = x -7y
\end{cases}
</math>

W zapisie macierzowym <math>\mathbb{X}' = \mathbb{A} \cdot \mathbb{X}</math> powyższy układ wygląda następująco:

<math>

\begin{bmatrix} 
x' \\ 
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
-5 & -2 \\ 
1 & -7
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
x \\ 
y
\end{bmatrix}

</math>

Jest to układ równań liniowych jednorodny z dwiema niewiadomymi funkcjami <math>x(t)</math>  oraz <math>y(t)</math>, zależnymi od jednej zmiennej niezależnej <math>t</math>.

= Wartości własne macierzy współczynników =
Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych <math>\lambda</math> macierzy współczynników <math>\mathbb{A}</math>:

<math>det \left[ \mathbb{A} - \lambda I \right] = 0</math>

<math>det 
\begin{bmatrix} 
-5-\lambda  &  -2         \\ 
1          &  -7-\lambda
\end{bmatrix}
=
</math>

<math>
= (-5-\lambda)(-7-\lambda) - (-2)=
</math>

<math>
= 35 +5\lambda +7\lambda + \lambda^2 + 2 =
</math>

{{RightBox|
<math>\Delta = 144 - 148 = -4</math>

<math>\sqrt{\Delta} = \pm 2i</math>

<math>\lambda_1=\frac{-12+2i}{2}=-6+i</math>

<math>\lambda_2=\frac{-12-2i}{2}=-6-i</math>
}}

szukany [[w:wyznacznik|wyznacznik]] macierzy ma postać:

<math>
= \lambda^2 + 12\lambda +37
</math>

Zatem rozwiązaniem [[w:równanie kwadratowe|równania kwadratowego]]

<math>
 \lambda^2 + 12\lambda +37 = 0
</math>

jest sprzężona para liczb zespolonych <math>\lambda_1=-6+i</math> oraz <math>\lambda_2=-6-i
</math>

== Zespolone wartości własne ==
Szukamy wektorów własnych <math>\mathbb{V}</math> odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej <math>\lambda_1 = -6+i</math> wraz z wartością sprzężoną do niej <math>\lambda_2 = -6-i</math>.

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną <math>\lambda_2 = -6-i</math> bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

<math>\left[ \mathbb{A} - \lambda_1 I \right] \cdot \mathbb{V} = 0</math>

zatem

<math>
\begin{bmatrix} 
-5-\lambda_1  &  -2           \\ 
1            &  -7-\lambda_1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
v_1 \\ 
v_2 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
0 \\ 
0
\end{bmatrix}
</math>

<math>
\begin{bmatrix} 
-5+6-i     &  -2         \\ 
1          &  -7+6-i
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
v_1 \\ 
v_2 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
0 \\ 
0 
\end{bmatrix}
</math>

<math>
\begin{bmatrix} 
2-2i     &  -4         \\ 
2          &  -2-2i
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
v_1 \\ 
v_2 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
0 \\ 
0 
\end{bmatrix}
</math>

co ostatecznie daje układ równań:

<math>
\begin{cases} 
(2-2i) v_1 -4v_2        = 0 \\ 
2 v_1      +(-2-2i)v_2 = 0 
\end{cases}
</math>

Bliżej zajmiemy się pierwszym równaniem. Niech <math>v_2=s</math> będzie dowolnym parametrem. Wyznaczymy zatem wartość <math>v_1</math> w zależności od parametru <math>s</math>.

<math>
(2-2i)v_1 -4s  = 0
</math>

<math>
v_1 = \frac{4s}{2-2i} = \frac{2s}{1-i}
</math>

Mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:

<math>
v_1 = \frac{2s}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{2s(1+i)}{1+1} = s(1+i)
</math>

Ostatecznie otrzymujemy:

<math>
\begin{cases} 
v_1 = s(1+i) \\ 
v_2 = s 
\end{cases}
</math>

Znając wektor własny odpowiadający wartościom własnym <math>\lambda_1, \lambda_2</math>

<math>
V=s
\begin{bmatrix} 
1+i \\ 
1 
\end{bmatrix}
</math>

możemy wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:

<math>
\mathbb{X}_{OJ}=s
\begin{bmatrix} 
1+i \\ 
1 
\end{bmatrix}
\cdot
e^{(-6+i)t}
</math>

<div style="clear: right; border: solid #a0ffa0 2px; margin: 0 0 1em 1em; font-size: 90%; background: #ffffff; padding: 2px; spacing: 2px; text-align: left; float: right;">
'''[[w:wzór Eulera|Wzór Eulera]]'''

<math>e^{i\varphi} = \cos{\varphi} +i\sin{\varphi}</math>
</div>

Korzystając ze [[w:wzór Eulera|wzoru Eulera]], otrzymamy:

<math>
=s
\begin{bmatrix} 
1+i \\ 
1 
\end{bmatrix}
\cdot
(\cos{t} +i\sin{t})e^{-6t} =
</math>

<math>
=s
\begin{bmatrix} 
\cos{t} +i\sin{t} +i\cos{t} -\sin{t} \\ 
\cos{t} +i\sin{t} 
\end{bmatrix}
\cdot
e^{-6t} =
</math>

W pierwszym wierszu grupujemy części rzeczywiste oraz urojone

<math>
=s
\begin{bmatrix} 
-\sin{t} +\cos{t} +i(\sin{t} +\cos{t}) \\ 
\cos{t} +i\sin{t} 
\end{bmatrix}
\cdot
e^{-6t}
</math>

= Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego =
Ostateczny wynik otrzymujemy, rozkładając ww. wektor na sumę dwóch wektorów zawierających odpowiednio części rzeczywiste oraz urojone (jednostka urojona <math>i</math> została włączona do stałej <math>C_2</math>).

<math>
\mathbb{X}_{OJ}=
\left(
C_1
\begin{bmatrix} 
-\sin{t} +\cos{t}  \\ 
\cos{t}  
\end{bmatrix}

+ C_2
\begin{bmatrix} 
\sin{t} +\cos{t} \\ 
\sin{t} 
\end{bmatrix}
\right)
e^{-6t}

</math>

W postaci macierzy Wrońskiego otrzymujemy następujące rozwiązanie:

<math>
\mathbb{X}_{OJ}=
\begin{bmatrix} 
-\sin{t} +\cos{t}  &  \sin{t} +\cos{t}  \\ 
\cos{t}             &  \sin{t}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 
C_1  \\ 
C_2 
\end{bmatrix}
e^{-6t}
</math>

= Wyznacznik macierzy Wrońskiego =
Dla pewności możemy sprawdzić, czy <math>W(t)\ne0</math>.

<math>
W(t) = det
\begin{bmatrix} 
-\sin{t} +\cos{t}  &  \sin{t} +\cos{t}  \\ 
\cos{t}             &  \sin{t}
\end{bmatrix}
= ...
</math>