Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna/Ciągi liczbowe

== Ciąg - wiadomości ogólne ==
{{Mat:Def|'''Ciągiem''' liczbowym nazywamy '''funkcję''' określoną na zbiorze liczb naturalnych, której wartościami są liczby.}}

Kolejne wartości funkcji a(1), a(2), a(3)... zwane też '''wyrazami ciągu''' zapisuje się jako <math>a_1, a_2, a_3</math>. 

Ciąg można określać za pomocą różnych sposobów: podając wyraz ogólny, definicją rekurencyjną. Nie wszystkie ciągi da się zapisać w ten sposób, ostatecznie ciąg można opisać wskazując jego elementy.

=== Wyraz ogólny ciągu ===
Jeżeli każdy wyraz ciągu zależny jest od jego indeksu (numeru tego wyrazu ciągu) to możemy go zapisać za pomocą wyrazu ogólnego ciągu.

Przykład:

Mamy ciąg o wyrazie ogólnym   <math>a_n = n^2 + 3\,</math>.

Oznacza to, że jego pierwszy wyraz wynosi <math>a_1 = 1^2 + 3 = 4\,</math>,

drugi wyraz <math>a_2 = 2^2 + 3 = 7\,</math> itd.

=== Wzór rekurencyjny ciągu ===
Jeżeli każdy kolejny wyraz ciągu zależny jest od poprzedniego, to możemy go zapisać za pomocą wzoru rekurencyjnego, tj. takiego w którym każdy kolejny wyraz ciągu oznacza się poprzez jakąś modyfikację poprzedniego wyrazu.

Przykład:

Mamy wzór rekurencyjny ciągu:</br>
<math>\left\{ \begin{array}{l}
a_1 = 3 \\
a_{n+1} = \frac{3 + n}{a_n}
\end{array}\right.</math>

Teraz, żeby obliczyć <math>n</math>-ty wyraz ciągu, musimy obliczyć wszystkie poprzednie wyrazy tego ciągu.

Na przykład aby obliczyć wyraz czwarty – <math>a_4</math>:

<math>a_2 = a_{1+1} = \frac{3 + 1}{a_1} = \frac{4}{3}</math>

<math>a_3 = a_{2+1} = \frac{3 + 2}{a_2} = \frac{5}{\frac{4}{3}} = \frac{15}{4}</math>

<math>a_4 = a_{3+1} = \frac{3 + 3}{a_3} = \frac{6}{\frac{15}{4}} = \frac{24}{15}</math>

== Monotoniczność ciągu ==
{{Mat:Def|Ciąg liczbowy jest '''rosnący''' gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest większy od poprzedniego.}}
Ciągiem rosnącym jest <math>\; (a_n) = (1, 3, 5, 7, 9, 11)\ </math>

Przykładem takiego ciągu jest też <math>a_n = 2^n + 1\,</math>. Aby to sprawdzić, możemy obliczyć różnicę <math>a_n-a_{n-1}\,</math> - musi być dodatnia, wówczas każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. 
: dla <math>n>1\,</math> mamy &nbsp; <math>a_n-a_{n-1}=2^n+1-2^{n-1}-1=2^{n-1}>0\,</math>, &nbsp; zatem &nbsp; <math>a_n >a_{n-1}\,</math>.

{{Mat:Def|Ciąg liczbowy jest '''niemalejący''' gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest nie mniejszy od poprzedniego.}}
Ciągiem niemalejącym jest <math>\; (a_n) = (1, 1, 2, 4, 4, 8)\ </math>

Każdy ciąg rosnący jest też niemalejący. Przykładem ciągu niemalejącego jest <math>a_n=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor</math>. <br>
Warunkiem do sprawdzenia jest <math>a_n-a_{n-1}\ge 0\,</math>.

{{Mat:Def|Ciąg liczbowy jest '''malejący''' gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest mniejszy od wyrazu poprzedniego.}}
Przykładem takiego ciągu jest <math>a_n = \frac{1}{n}</math>, ponieważ 
: dla <math>n>1\,</math> mamy &nbsp; <math>a_n-a_{n-1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}-1=\frac{n-1}{n(n-1)}-\frac{n}{n(n-1)}<0\,</math>, &nbsp; zatem &nbsp; <math>a_n <a_{n-1}\,</math>.

{{Mat:Def|Ciąg liczbowy jest '''nierosnący''' gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem pierwszego jest nie większy od wyrazu poprzedniego.}}
Każdy ciąg malejący jest też ciągiem nierosnącym.

{{Mat:Def|Ciąg liczbowy, którego wszystkie wyrazy są równe, nazywamy ciągiem '''stałym'''.}}
Przykładem takiego ciągu jest <math>a_n=1\,</math>. Ciąg stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący.

Ciąg spełniający jedną z powyższych definicji jest ciągiem monotonicznym.
{{Mat:Def|Ciąg liczbowy jest '''monotoniczny''', gdy jest niemalejący lub nierosnący.}}

Istnieją jednak ciągi które nie są ani malejące ani rosnące. Przykładem takiego ciągu jest <math>a_n = (-2)^{n + 1} +3\,</math>. Jego pierwszy wyraz wynosi 7, drugi -5, a trzeci 19. Można więc powiedzieć, że podciąg złożony z pierwszego i drugiego elementu maleje, jednak podciąg złożony z drugiego i trzeciego elementu rośnie. Takie ciągi są '''niemonotoniczne'''.

<noinclude>
{{Nawigacja|Analiza matematyczna|
[[Analiza matematyczna/Wstęp|Wstęp]]|
[[Analiza matematyczna/Granica ciągu|Granica ciągu]]|
}}</noinclude>